Question

Составить таблицы истинности для следующих логических выражений: 1. F = (X&-Y )vZ
2. F = X&YvZ
3. -(XvY) & (YvX)
4. -((XvY) & (ZvX))&(ZvY)

Answer 1

Добрый день! Раз уж я выступаю в роли школьного учителя, то с удовольствием помогу вам разобраться с этими логическими выражениями и составить для них таблицы истинности. Для начала, давайте вспомним основные правила логических операций. 1. Операция "И" (или конъюнкция) обозначается символом "&". Выражение "A & B" истинно только в тех случаях, когда и A, и B истинны. Если хотя бы одно из выражений A или B ложно, то результат будет ложным. 2. Операция "ИЛИ" (или дизъюнкция) обозначается символом "v". Выражение "A v B" истинно в случае, когда хотя бы одно из выражений A или B истинно. Если оба выражения ложны, то результат будет ложным. 3. Операция "НЕ" (или отрицание) обозначается символом "-". Выражение "-A" будет истинно, если A ложно, и ложно, если A истинно. Теперь рассмотрим каждое логическое выражение по отдельности и составим для него таблицу истинности. 1. F = (X&-Y )vZ Для начала создадим таблицу истинности с тремя столбцами: X, Y и Z. В каждой строке будем подставлять различные значения переменных и определять истинность выражения F. | X | Y | Z | (X&-Y )vZ | |---|---|---|-----------| | 0 | 0 | 0 | | | 0 | 0 | 1 | | | 0 | 1 | 0 | | | 0 | 1 | 1 | | | 1 | 0 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 0 | | | 1 | 1 | 1 | | Теперь давайте посчитаем значения в столбце "(X&-Y )vZ". Для этого вставим значения переменных X, Y и Z в логическое выражение "(X&-Y )vZ" и определим истинность получившегося выражения. | X | Y | Z | (X&-Y )vZ | |---|---|---|-----------| | 0 | 0 | 0 | | | 0 | 0 | 1 | | | 0 | 1 | 0 | | | 0 | 1 | 1 | | | 1 | 0 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 0 | | | 1 | 1 | 1 | | Для первой строки таблицы, где X = 0, Y = 0 и Z = 0, подставим значения в выражение: (0&-0 )v0 => (0&1)v0 => 0v0 => 0 Теперь проделаем это для всех остальных строк таблицы: | X | Y | Z | (X&-Y )vZ | |---|---|---|-----------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | Таким образом, получим таблицу истинности для выражения F = (X&-Y )vZ: | X | Y | Z | F = (X&-Y )vZ | |---|---|---|---------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 2. F = X&YvZ Проделаем то же самое для второго выражения. | X | Y | Z | F = X&YvZ | |---|---|---|-----------| | 0 | 0 | 0 | | | 0 | 0 | 1 | | | 0 | 1 | 0 | | | 0 | 1 | 1 | | | 1 | 0 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 0 | | | 1 | 1 | 1 | | Заполним столбец F = X&YvZ: | X | Y | Z | F = X&YvZ | |---|---|---|-----------| | 0 | 0 | 0 | | | 0 | 0 | 1 | | | 0 | 1 | 0 | | | 0 | 1 | 1 | | | 1 | 0 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 0 | | | 1 | 1 | 1 | | Также, проведем логические операции внутри выражения: | X | Y | Z | X&Y | X&YvZ | |---|---|---|-----|-------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Таким образом, получим таблицу истинности для выражения F = X&YvZ: | X | Y | Z | F = X&YvZ | |---|---|---|-----------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0 | 0 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 3. F = -(XvY) & (YvX) | X | Y | -(XvY) | (YvX) | F = -(XvY) & (YvX) | |---|---|--------|-------|--------------------| | 0 | 0 | | | | | 0 | 1 | | | | | 1 | 0 | | | | | 1 | 1 | | | | Для третьего выражения также проведем логические операции внутри выражения: | X | Y | -(XvY) | (YvX) | -(XvY) & (YvX) | |---|---|--------|-------|----------------| | 0 | 0 | | | | | 0 | 1 | | | | | 1 | 0 | | | | | 1 | 1 | | | | Для каждой строки таблицы, подставим значения переменных X и Y в выражение "-(XvY)": -(0v0) => -(0) => 1 | X | Y | -(XvY) | (YvX) | -(XvY) & (YvX) | |---|---|--------|-------|----------------| | 0 | 0 | 1 | | | | 0 | 1 | 0 | | | | 1 | 0 | 0 | | | | 1 | 1 | 0 | | | Далее, подставим значения X и Y в выражение "(YvX)": | X | Y | -(XvY) | (YvX) | -(XvY) & (YvX) | |---|---|--------|-------|----------------| | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | Операция "И" между значениями столбцов "-(XvY)" и "(YvX)" дает нам итоговое значение выражения "-(XvY) & (YvX)": | X | Y | -(XvY) | (YvX) | -(XvY) & (YvX) | |---|---|--------|-------|----------------| | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | Таким образом, получим таблицу истинности для выражения F = -(XvY) & (YvX): | X | Y | -(XvY) | (YvX) | F = -(XvY) & (YvX) | |---|---|--------|-------|--------------------| | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 4. F = -((XvY) & (ZvX)) & (ZvY) | X | Y | Z | (XvY) & (ZvX) | -((XvY) & (ZvX)) | (ZvY) | F = -((XvY) & (ZvX)) & (ZvY) | |---|---|---|---------------|------------------|-------|-----------------------------| | 0 | 0 | 0 | | | | | | 0 | 0 | 1 | | | | | | 0 | 1 | 0 | | | | | | 0 | 1 | 1 | | | | | | 1 | 0 | 0 | | | | | | 1 | 0 | 1 | | | | | | 1 | 1 | 0 | | | | | | 1 | 1 | 1 | | | | | Теперь внутри скобок "(XvY) & (ZvX)" проведем операции: | X | Y | Z | (XvY) & (ZvX) | -((XvY) & (ZvX)) | (ZvY) | F = -((XvY) & (ZvX)) & (ZvY) | |---|---|---|---------------|------------------|-------|-----------------------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | | | | | 0 | 0 | 1 | 0 | | | | | 0 | 1 | 0 | 0 | | | | | 0 | 1 | 1 | 1 | | | | | 1 | 0 | 0 | 0 | | | | | 1 | 0 | 1 | 1 | | | | | 1 | 1 | 0 | 1 | | | | | 1 | 1 | 1 | 1 | | | | Теперь проведем операцию отрицания "-((XvY) & (ZvX))": | X | Y | Z | (XvY) & (ZvX) | -((XvY) & (ZvX)) | (ZvY) | F = -((XvY) & (ZvX)) & (ZvY) | |---|---|---|---------------|------------------|-------|-----------------------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | | | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | | | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | | | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | | | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | | | Теперь подставим значения X и Y в выражение "(ZvY)": | X | Y | Z | (XvY) & (ZvX) | -((XvY) & (ZvX)) | (ZvY) | F = -((XvY) & (ZvX)) & (ZvY) | |---|---|---|---------------|------------------|-------|-----------------------------| | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | | | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | | Наконец, проведем операцию "И" между "-((XvY) & (ZvX))" и "(ZvY)": | X | Y | Z | (XvY