Question

Найдите наибольшее целое положительное число x, при котором ложно высказывание: (x(x+2)> 54)→(x2> 80)

Answer 1

1. Находим решение первого неравенства.
$x(x+2)54; \ x^2+2x-54 0$
Для того, чтобы решить неравенство, попытаемся сначала определить, если ли у квадратного трехчлена, стоящего в левой части, нули.
$x^2+2x+54=0; \ D=4+4*54=4*55$
Поскольку дискриминант положительный, имеются два вещественных корня.
Найдем их.
$\sqrt{D}=2 \sqrt{55}; \ x= \frac{-2\mp 2 \sqrt{55}}{2}=-1\mp \sqrt{55}$
Вспоминаем, что график квадратного трехчлена - парабола, ветви которой направлены вверх, если коэффициент при квадрате х положительный. Следовательно, левая часть неравенства будет положительной, когда аргумент будет или меньше меньшего из найденных корней уравнения, или больше большего.
$x \in (-\infty;-1- \sqrt{55}) \ \cup \ (-1+ \sqrt{55};+\infty)$
Теперь следует решить второе неравенство.
$x^280; \ |x|\sqrt{80} \to x \in (-\infty;- 4\sqrt{5}) \ \cup \ ( 4\sqrt{5};+\infty)$
Поскольку нас интересует решение в натуральных числах, вычислим значения выражений, содержащих радикалы, с точностью до 1 знака после запятой. В дальнейшем мы заменим их натуральными числами.
Решения неравенств примут вид:
$x \in (-\infty;-8.4) \ \cup \ (6.4;+\infty) \\ x \in (-\infty;-8.9) \ \cup \ (8.9;+\infty)$
Исходное высказывание схематически выгладит как a ⇒ b
Найдем схематическое выражение, соответствующее его отрицанию и заменим a,b на найденные решения неравенств.
$F=a \to b = \overline a \lor b; \\ \overline F=\overline{\overline a \lor b}=a \land \overline b; \\ F=(x \in (-\infty;-8.4) \ \cup \ (6.4;+\infty)) \land \overline{x \in (-\infty;-8.9) \ \cup \ (8.9;+\infty)}= \\ (x \in (-\infty;-8.4) \ \cup \ (6.4;+\infty)) \land (x \in [-8.9;8.9])= \\ (x \in (-\infty;-8.4) \cap [-8.9;8.9]) \cup (x \in (6.4;+\infty) \cap [-8.9;8.9])= \\ (x \in [-8.9;-8.4)) \cup (x \in (6.4;8.9])=x \in [-8.9;-8.4) \cup (6.4;8.9];$
Теперь заменяем приближенные числа натуральными и находим окончательное решение.
$x \in false \cup [7;8] \to x=8$
ответ: х=8