Трехзначное число в системе счисления по основанию p может быть записано, как Разница между максимальным и минимальным трехзначными числами должна превышать десятичное число 200 (пока не будем учитывать дополнительное ограничение на несимметричность), т.е. В целых числах получаем условие p≥6, т.е. основание системы счисления не может быть меньше 6. Найдем, сколько трехзначных чисел можно получить в системе счисления с основанием 6: Симметричными будут числа вида 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 6. Итого получается пять групп, в каждой из которых шесть чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 30. Следовательно, в системе счисления по основанию 6 можно записать 215-30=185 трехзначных несимметричных чисел, что меньше ограничения 200. Проверим систему счисления по основанию 7: Симметричными будут числа вида 6х6, 5х5, 4х4, 3х3, 2х2, 1х1, где х - любая из цифр по основанию 7. Итого получается шесть групп, в каждой из которых семь чисел, т.е. всего трехзначных симметричных чисел может быть 42. Следовательно, в системе счисления по основанию 7 можно записать 342-42=300 трехзначных несимметричных чисел, что превышает ограничение 200.
![N_{(p)}=n_2\times p^2+n_1\times p^1+n_0\times p^0; \\ N_{(p)}=n_2\times p^2+n_1\times p+n_0, \ \begin {cases} p \in \mathbb Z, \{n_2,n_1,n_0\} \in \mathbb Z \\ n_2 \in [1;p-1], \ \{n_1,n_0\} \in [0;p-1] \\ n_2 \ne n_0 \end {cases}](/tpl/images/0282/1188/e0f7f.png)
![\big((p-1)\times p^2+(p-1)\times p+(p-1)\big)-\big((p^2+0\times p^1+0)\big)200; \\ (p^3-p^2+p^2-p+p-1)-p^2200; \ p^3-1200 \to p \sqrt[3]{200}](/tpl/images/0282/1188/28fa8.png)
а так - А