Question

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1 ,y1,, которые удовлетворяют перечисленным ниже условиям? (¬(x1 ˅ y1) ≡ (x2 ˅ y2) (¬(x2 ˅ y2)≡ (x3 ˅ y3) (¬(x5 ˅ y5)≡ (x6 ˅ y6)

Answer 1

$\begin{cases} \lnot(x_1\lor y_1)\equiv (x_2\lor y_2)\\ \lnot(x_2\lor y_2)\equiv (x_3\lor y_3)\\ \dots\\ \lnot(x_5\lor y_5)\equiv (x_6\lor y_6) \end{cases}$

Обозначим $t_i=x_i\lor y_i$. Тогда система превращается в такую:
$\begin{cases} \lnot t_1\equiv t_2\\ \lnot t_2\equiv t_3\\ \dots\\ \lnot t_5\equiv t_6 \end{cases}$

Пусть $t_1=0$. Тогда $t_2=t_4=t_6=1,\quad t_3=t_5=0$. Учитывая, что уравнение $t_i=0$ имеет 1 решение $x_i=y_i=0$, а $t_i=1$ - 3 решения, а также вспоминая, что все переменные независимы, получаем по правилу умножения, что в этом случае будет $1\cdot3\cdot1\cdot3\cdot1\cdot3=27$ решений.

Если $t_1=1$, всё будет так же с точностью до замены 1 на 0 и наоборот, в этому случае будет тоже 27 решений.

Всего возможных наборов 27 + 27 = 54.