function f(x: real): real; begin f := ArcTan(3 * x + 1.5); end;
begin //настраиваем размер окна под график, влияет на маштаб Window.Width := 1000; Window.Height := 300;
Window.IsFixedSize := True; // фиксируем размеры окна Coordinate.Origin := Window.Center; //выставляем начало координат в центр окна Coordinate.SetMathematic; //выставляем направление осей как в математике принято var scale := Window.Width / (x_max - x_min); // вычисляем маштаб
var x := x_min; var y_max := f(x_max); // подставляем реальные значения var y_min := f(x_min); // подставляем реальные значения
repeat try var y := f(x); if y > y_max then y_max := y; if y < y_min then y_min := y; finally x := x + dx; end; until x > x_max;
// PascalABC.NET 3.3, сборка 1579 от 18.11.2017 // Внимание! Если программа не работает, обновите версию!
1)
begin var (n,m):=ReadInteger2('Количество строк и столбцов в массиве:'); Writeln('*** Исходный массив [',n,',',m,'] ***'); var a:=MatrRandom(n,m,-99,99); a.Println(4); Writeln(4*a.ColCount*'-'); var b:=a.Rows.Select(r->r.Where(t->t.IsOdd).LastOrDefault); b.Println; end.
Метод Ньютона (метод Ньютона-Рафсона, метод касательных) требует для нахождения корня нелинейного уравнения выполнения достаточно большого количества условий. В качестве компенсации он (в общем случае) сходится быстрее любого другого численного метода нахождения корня уравнения F(x)=0. Для функции F(x) должен быть определен интервал изоляции корня [a;b], такой что на нем: а) F(a) и F(b) имеют разные знаки; б) F(x) определена и непрерывна; в) F'(x) ≠ 0 г) F"(x) определена всюду и имеет постоянный знак
1. Перепишем уравнение в более привычном виде и сделаем преобразования, необходимые для нахождения интервала изоляции корня [a;b], а также проверки выполнения на нем условий а) - г)
Степенная функция при натуральном основании и вещественном показателе степени всюду положительна, является непрерывной и монотонно возрастающей. Комбинация показательных функций будет также обладать этими свойствами. При х=0 (считать удобно) F(x) = 11+3-0.9 = 13.1 При х=-1 (тоже удобно) F(x) = 11/20 +3/5 - 9/10 = 1/4 (почти ноль!) При х=-2 F(x) = 11/400 + 3/25 - 9/10 = -301/400 ≈ - 0.7525 Условие а) выполнено, интервал изоляции корня найден, a=-2, b=-1. Прочие условия на этом интервале также выполняется в соответствии с написанным выше.
2. В качестве начального приближения выберем точку, находящуюся в середине интервала изоляции. х₀ = -1.5
4. Определим условие завершения поиска корня. В соответствии с известной формулой (например, см. стр. 41 в книге Гловацкая А.П. Методы и алгоритмы вычислительной математики. Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 1999), длина интервала изоляции корня связана с погрешностью следующим образом: F'(a) = 11/400*ln(20)+3/25*ln(5) ≈ 0.275515187014827; F"(b) = 11/20*ln(20)²+3/5*ln(5)² ≈ 6.49010075653527 Величина интервала для х при ε=10⁻⁶ будет составлять приблизительно 0.0002914.
5. Составим программу на языке программирования PascalABC.NET 3.3. и найдем корень уравнения.
// PascalABC.NET 3.3, сборка 1579 от 18.11.2017 // Внимание! Если программа не работает, обновите версию!
begin var f:real->real:=x->11*Power(20,x)+3*Power(5,x)-0.9; var f1:real->real:=x->11*Power(20,x)*Ln(20)+3*Power(5,x)*Ln(5); var f2:real->real:=x->11*Power(20,x)*Sqr(Ln(20))+3*Power(5,x)*Sqr(Ln(5)); var (a,b,eps):=(-2.0,-1.0,1e-6); var d:=Sqrt(2*f1(a)*eps/f2(b)); var xn1:=(a+b)/2; var xn:real; repeat (xn,xn1):=(xn1,xn-f(xn)/f1(xn)); until Abs(xn-xn1)<=d; Writeln(xn1:0:6); end.
//Если программа не запускается, то обновите версию
uses GraphABC;
const
x_min = -15.0;
x_max = 15.0;
dx = 0.01;
function f(x: real): real;
begin
f := ArcTan(3 * x + 1.5);
end;
begin
//настраиваем размер окна под график, влияет на маштаб
Window.Width := 1000;
Window.Height := 300;
Window.IsFixedSize := True; // фиксируем размеры окна
Coordinate.Origin := Window.Center; //выставляем начало координат в центр окна
Coordinate.SetMathematic; //выставляем направление осей как в математике принято
var scale := Window.Width / (x_max - x_min); // вычисляем маштаб
var x := x_min;
var y_max := f(x_max); // подставляем реальные значения
var y_min := f(x_min); // подставляем реальные значения
repeat
try
var y := f(x);
if y > y_max then y_max := y;
if y < y_min then y_min := y;
finally
x := x + dx;
end;
until x > x_max;
// оси координат, стрелочки сами если надо
Pen.Color := clSilver;
Line(round((x_min - 1) * scale), 0, round((x_max + 1) * scale), 0);
Line(0, round((y_min - 1) * scale), 0, round((y_max + 1) * scale));
Circle(0, round(1 * scale), 1); //единичная метка
Circle(round(1 * scale), 0, 1); //единичная метка
x := x_min;
repeat
try
var y := f(x);
PutPixel(round(x * scale), round(y * scale), clBlueViolet);
finally
x := x + dx;
end;
until x > x_max;
end.