Question

Сегэ по информатике. система логических уравнений: { (x1 -> x2) /\ (x2 -> x3) /\(x3 -> x4) /\ (x4 -> x5) /\ (x5 -> x6) /\ (x6 -> x7) = 1 { (~x1 v y1 v z1) /\ (x1 v ~y1 v z1) /\ (x1 v y1 v ~z1) = 1 { (~x2 v y2 v z2) /\ (x2 v ~y2 v z2) /\ (x2 v y2 v ~z2) = 1 { (~x3 v y3 v z3) /\ (x3 v ~y3 v z3) /\ (x3 v y3 v ~z3) = 1 { (~x4 v y4 v z4) /\ (x4 v ~y4 v z4) /\ (x4 v y4 v ~z4) = 1 { (~x5 v y5 v z5) /\ (x5 v ~y5 v z5) /\ (x5 v y5 v ~z5) = 1 { (~x6 v y6 v z6) /\ (x6 v ~y6 v z6) /\ (x6 v y6 v ~z6) = 1 { (~x7 v y7 v z7) /\ (x7 v ~y7 v z7) /\ (x7 v y7 v ~z7) = 1 пояснения: здесь (x -> y) - это операция "импликация". ~x - это не x, то есть отрицание x. 1 - это логическое 1, то есть истина. внимание, вопрос: сколько различных решений имеет эта система? решением является набор (x1; x2; ; x7; y1; y2; ; y7; z1; z2; ; z7). правильный ответ я знаю: 6305. ваша - его получить.

Answer 1

Первое уравнение системы – это несколько условий, соединённых конъюнкциями. Чтобы такая последовательность условий была истинной, каждое условие должно быть истинным. Заметим, что если какой-то икс оказался равен 1, то все последующие иксы тоже должны быть равны нулю, так как 1 -> 0 = 0.

Остальные уравнения имеют одинаковый вид (a ∨ b ∨ ~c) ∧ (a ∨ ~b ∨ c) ∧ (~a ∨ b ∨ c) = 1. Вновь каждая скобка должна быть истинной. Прикинем, когда так будет.

Пусть a = 1. При этом первые две скобки автоматически истинны, а третья превращается в b ∨ c, что будет истинно, если хотя бы одна из переменных b, c истинна. В этом случае есть 3 комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется (все, кроме 0, 0).

Если a = 0, то истинна третья скобка, первые две превращаются в (b ∨ ~c) ∧ (~b ∨ c). В таком выражении можно разглядеть (c -> b) ∧ (b -> c), т.е. эквиваленцию b ↔ c. Она верна, только если операнды одинаковы, тогда есть две комбинации (b, c), при которых уравнение выполняется: (0, 0) и (1, 1).

Собираем вместе: решение первого уравнения – первые k иксов равны 0, оставшиеся 7 - k иксов равны 1. Все оставшиеся уравнения зависимы только через иксы, если соответствующий икс равен 0, то такое уравнение имеет 2 решения, иначе 3 решения. По правилу произведения система при фиксированном k имеет 2^k * 3^(7 - k) = 3^7 * (2/3)^k решений.

Чтобы найти общее количество решений, нужно просуммировать при k от 0 до 7. В этом сумма геометрической прогрессии:

3^7 * ((2/3)^0 + (2/3)^1 + ... + (2/3)^7) = 3^7 * (1 - (2/3)^8)/(1 - 2/3) = 3^8 - 2^8 = 6305.

Answer 2

1-ое уравнение:

(x1→x2)*(x2→x3)*(x3→x4)*(x5→x6)*(x6→x7)=1 решения:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

2-ое уравнение ( и все последующие) решение:

при x1=0 (для последующих уравнений х2=0; х3=0 и т.д.)

x1 y1 z1

0 0 0

0 1 1 всего два решения

при х1=1

x1 y1 z1

1 0 1

1 1 0

1 1 1 всего три решения

вывод: каждое из семи уравнений даёт при xn=0 два решения и при хn=1 три решения n=1,2,...,7) РЕШЕНИЯ КАЖДОГО из семи последних УРАВНЕНИЯ НЕЗАВИСИМЫ ДРУГ ОТ ДРУГА, зависят только от решений первого уравнения

смотрим на решения первого уравнения:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 0 0 0 0 0 0 - всего решений: 2^7 =138

0 0 0 0 0 0 1 - 2^6 * 3^1 =192

0 0 0 0 0 1 1 - 2^5 * 3^2=288

0 0 0 0 1 1 1 2^4 * 3^3=432

0 0 0 1 1 1 1 2^3 * 3^4=648

0 0 1 1 1 1 1 2^2 * 3^5=972

0 1 1 1 1 1 1 2^1 * 3^6 =1458

1 1 1 1 1 1 1 3^7=2187

128+192+288+432+648+972+1458+2187=6305 <ответ