1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Утверждение 1.
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно Утверждение 2.
Если m и n уравнения (1) взаимно числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Утверждение 3.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Утверждение 4.
Если m и n – взаимно числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
1) 9x – 18y = 5
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Пример: 5x+2y=10
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
НОД (9;18)=9
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
2) x + y= xy
Методом подбора можно найти решение
ответ: (0;0), (2;2)
Восточное направление. Присоединение и освоение новых земель
Золотая Орда распалась на много отдельных государственных образований, среди которых были Казанское ханство и Астраханское ханство, которые постоянно представляли угрозу русским землям. Под их контролем находился Волжский торговый путь. Кроме того, в получении этих плодородных земель было заинтересовано дворянство. Жившие на этих территориях марийцы, мордва, чуваши, стремились освободиться от ханской зависимости. Подчинить эти ханство представлялось возможным только двумя : посадить там своих ставленников или завоевать их. Дипломатические усилия не принесли результатов, и в 1552 году, 150-тысячное войско Ивана IV подошло к стенам Казани. Казань, по тем временам, считалась очень хорошей военной крепостью. Царь провел подготовительные мероприятия. Недалеко от Углича была построена деревянная крепость, которую потом разобрали и сплавили по Волге до впадения в нее Свияги. Затем, в30 км. От Казани, разобранную крепость собрали вновь, которая положила начало новому городу – Свияжску, ставшему опорным пунктом в борьбе за Казань. Иван Григорьевич Выродков, талантливый мастер, руководил всеми работами по сооружению крепости, сооружением минных подкопов и осадных при при штурме Казани.
Штурм Казани начался 1 октября 1552 года. Часть стены Казанского кремля была разрушена в результате взрыва 48 бочек пороха, предварительно заложенных в подкопах. Через проломы в стене русские войска ворвались в город. Хан Ядигир-Магмет был пленен. Казань была взята. Впоследствии, хан крестился, получил имя Симеон Касаевич, стал активным союзником царя и владельцем Звенигорода.
Астрахань была присоединена в 1556 году. Чувашия и часть Башкирии добровольно вошли в состав России в 1557 году. Ногайская Орда, также выделившаяся из Золотой Орды, признала зависимость от России. Название свое государство получило по имени правителя Ногая, а ее территории охватывали степные районы от Волги до Иртыша. Таким образом, новые плодородные земли и весь Волжский торговый путь оказались в составе России. Расширялись связи России с народами Северного Кавказа и Средней Азии.
Предпосылками продвижения в Сибирь стало присоединение Казанского и Астраханского ханств. Освоение Сибири связано с купцами из рода Строгановых, которые получили от царя грамоты на владения землями по реке Тоболу. На свои деньги они снарядили отряд из вольных казаков, по разным источникам, от 600 до 840 человек, во главе с Ермаком Тимофеевичем. В 1581 году Ермак отправился на покорение Сибири. Уже через год, Кучум, хан Сибирского ханства, был разбит. Также, казаки захватили и столицу Сибирского ханства – Кашлык (Искер) . Население присоединённых территорий было платить русскому царю – ясак – натуральный оброк мехом.
Южное направление.
На южном направлении стояла задача перед государством – укрепление южных границ от набегов крымских ханов. С этой целью начинается освоение плодородных земель Дикого поля. Появились засечные черты – оборонительные линии, состоявшие из завалов леса (засека) , в промежутки которых ставили деревянные крепости (остроги) , закрывавшие проход татарской коннице в засеках. Так появились Тульская, Белгородская засечные черты.