Даны координаты вершин пирамиды:
А(2; 3; 2), В( 3; 0: 2), С(-2; 2; , D(1; 1; -2).
а) Угол между ребром АD и гранью АВС.
Вектор АD(-1; -2; -4).
Находим уравнение плоскости грани АВС по координатам вершин.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA
= 0
Подставим данные и упростим выражение:
х - 2 y - 3 z - 2
3 - 2 0 - 3 2 - 2
(-2) - 2 2 - 3 3 - 2
= 0
x - 2 y - 3 z - 2
1 -3 0
-4 -1 1
= 0
(x - 2) -3·1-0·(-1) - (y - 3) 1·1-0·(-4) + (z - 2) 1·(-1)-(-3)·(-4) = 0
(-3) x - 2 + (-1) y - 3 + (-13) z - 2 = 0
- 3x - y - 13z + 35 = 0.
Угол между прямой (x - 2)/(-1) = (y - 3)/(-2) = (z - 2)/(-4) и плоскостью
- 3x - y - 13z + 35 = 0
Направляющий вектор прямой имеет вид: s = (-1; -2; -4).
Вектор нормали плоскости имеет вид: q = (-3; -1; -13).
Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q | | s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz | √(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =
= | (-3) · (-1) + (-1) · (-2) + (-13) · (-4) | √((-3)² + (-1)² + (-13)²) · √((-1)² + (-2)² + (-4)²) = | 3 + 2 + 52 |/(√(9 + 1 + 169) · √(1 + 4 + 16)) = 57/(√179 · √2) =
= 57 /√3759 = 19√3759 1253 ≈ 0.929691.
φ = 68.38672°.
б) Расстояние от вершины А до прямой ВС.
s = -5; 2; 1 - направляющий вектор прямой ВС;
А = 3; 0; 2 - точка лежащая на прямой.
Уравнение ВС: (x - 3)/(-5) = (y - 0)/2 = (z - 2)/1
АB = {Ax - Bx; Ay - By; Az - Bz} = (3 - 2; 0 - 3; 2 - 2) = (1; -3; 0),
Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах AB и s:
S = |AB × s|
AB × s =
i j k
1 -3 0
-5 2 1
=
= i -3·1 - 0·2 - j 1·1 - 0·(-5) + k 1·2 - (-3)·(-5) =
= i -3 - 0 - j 1 - 0 + k 2 - 15 =
= -3; -1; -13.
Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем высоту (расстояние от точки до прямой):
d = |AB×s|/ |s| = √((-3)² + (-1)² + (-13)²)/√((-5)² + 2² + 1²) = √179 /√30 = = √5370/30 ≈ 2.44267.
в) Уравнение высоты пирамиды,опущенной из вершины D.
Общее уравнение прямой :
(x - xo)/m = (y - yo)/n = (z - zo)/l
xo, yo, zo - координаты какой-либо точки перпендикуляра, например D(1; 0; -2)
m, n, l - координаты направляющей искомой прямой (в данном случае координаты нашей нормали): q = (-3; -1; -13).
Получаем (x -1)/(-3) = (y -0)/(-1) = (z + 2)/(-13).
г) Длина высоты пирамиды DH.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу:d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |-3·1 + (-1)·1 + (-13)·(-2) + 35|/√((-3)² + (-1)² + (-13)²) = |-3 - 1 + 26 + 35|/ √(9 + 1 + 169) = 57 /√179 = 57√179/ 179 ≈ 4.26038.
Пошаговое объяснение: отправляйте фото