Question

Вычислите двойной перейдите к полярным координатам.

Answer 1

Уравнение окружности с центром в (0,0) и R=1 в полярной системе координат имеет вид  r=1.

$\iint \limits _{G}\, (x-y)\, dx\, dy=[\; x=rcos\phi \; ,\; y=rsin\phi \; ,\; dxdy=r\, dr\, d\phi \; ]=\\\\=\int\limits_{-\pi /2}^{\pi }d\phi \int\limits_0^1\,(rcos\phi -rsin\phi )\, dr=\int\limits^{\pi }_{-\pi /2}\, d\phi \int\limits^1_0\, (cos\phi -sin\phi )\cdot r\, dr=\\\\=\int\limits^{\pi }_{-\pi /2}\, (cos\phi -sin\phi )\, d\phi \Big ( \frac{r^2}{2}\Big )\Big |_0^1=\int\limits^{\pi }_{-\pi /2}\, \frac{1}{2}(cos\phi -sin\phi )\, d\phi =\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big (sin\phi +cos\phi \Big )\Big |_{-\pi /2}^{\pi }=\frac{1}{2}\cdot \Big (sin\pi +cos\pi -sin(-\frac{\pi }{2})-cos(-\frac{\pi }{2})\Big )=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \Big (0-1+1-0\Big )=\frac{1}{2}\cdot 0=0$