Полное условие: Четырёхзначное число называется восхитительным, если оно само делится на 25, его сумма цифр делится на 25 и его произведение цифр делится на 25. Найдите все восхитительные числа.
Решение. Представим четырёхзначное число x в виде :
, где a, b, c и d - цифры, причём a≥1.
Применим признак делимости на 25:
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75.
Тогда искомое число может имеет 4 вида:
1)
2)
3)
4)
Для этих чисел проверим остальные условия:
1) .
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+0+0≤9+9+0+0=18<25, поэтому сумма цифр не делится на 25. Не подходит!
2) .
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+2+5=a+b+7≤9+9+7=25.
Отсюда, сумма цифр только числа 9925 делится на 25.
Произведение цифр этого числа равно 810 и не делится на 25. Не подходит!
3) .
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+5+0=a+b+5≤9+9+5=23<25, поэтому сумма цифр не делится на 25. Не подходит!
4) .
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+7+5=a+b+12. Тогда должен выполнятся равенство:
a+b+12=25 или a+b=13. Отсюда видно, что a и b не равны.
Применим условие задачи "произведение цифр делится на 25". Произведение цифр равно a·b·7·5 и делится на 5. Так как a и b цифры, то для того, чтобы a·b·7·5 делился на 25 (=5·5), хотя бы один из множителей a или b должен делится на 5.
а) пусть a=5. Тогда из a+b=13 получаем, что b=13-5=8;
б) пусть b=5. Тогда из a+b=13 получаем, что a=13-5=8.
У маленького четырёхугольника, который только родился в Петиной тетради, были родители: папа-параллелограмм и мама-квадрат. И вот задумались они, как же сыночка назвать. Спорят: папа говорит:"Он похож на меня - вон какие у него углы- не то что у тебя, жена, прямые. Значит, имя придумывать буду я." Жена ему отвечает: "Вот ещё! Хоть углы и не прямые, зато все стороны-то равные, как у меня! Я буду называть!" Услышал их спор Петя-ученик и говорит: "Эх, вы! Он похож и на маму, и на папу, а самое главное, что имя ему давно уже существует- ведь это ромб!" Посмотрели папа с мамой ещё раз внимательно на сыночка и согласились: "Молодец, Петя тебе". И стали они втроём жить-поживать в Петиной тетради. Об их приключениях вы узнаете в следующей сказке.
Лев Николаевич Толстой всю свою жизнь очень любил детей: и самых маленьких, и более старших, всегда проводил с ними много времени: зимою катался на коньках или на санках с гор, ходил на лыжах, а летом гулял по полям, лесам, собирал с ними цветы, ягоды, грибы. И всегда он им что-нибудь рассказывал. И чего только не рассказывал! И про себя, какой маленький был, и как в молодости на Кавказе жил, и про своих родителей и знакомых, и всевозможные истории, и басни, и сказки. И дети могли слушать его сколько угодно; слушали бы и слушали, потому что уж очень он интересно, занятно про всё рассказывал.
Любили дети одну его особенную сказку — об огурцах.
Он рассказывал её и тогда, когда был молодым, и стариком. В последний раз — когда ему шёл восемьдесят второй год.
Это было 18 сентября 1909 года в сельской местности Крек-шино, под Москвою.
Лев Николаевич сидел возле дома на длинной садовой скамье. На нем было тёмное осеннее пальто, серая шляпа, в руке он держал палку, с которой только что пришёл с прогулки. Рядом с ним сидели его внуки, брат и сестра: Сонечка девяти лет и Илюшок семи лет. Он взглянул на них и бодрым, звучным голосом спросил: А хотите, я вам сказку расскажу? Хотим, дедушка, хотим! Расскажи, дедушка, расскажи! Ну хорошо, расскажу! Слушайте! Только внимательно слушайте! Он сделал серьёзное лицо, немного приподнял голову, посмотрел в сторону, как будто собирался с мыслями. Сонечка и Илюшок насторожились. — Сказка про одного мальчика и семь огурцов, — объя вил Лев Николаевич.
Сонечка и Илюшок затаили дыхание.
Лев Николаевич перевёл глаза на них и уже до самого конца сказки всё время смотрел на внуков.
— Жил-был на свете один мальчик,.. — начал он и за молк. — И пошёл раз этот мальчик в огород. . — Опять Лев Николаевич умолк.
5875 или 8575
Пошаговое объяснение:
Полное условие: Четырёхзначное число называется восхитительным, если оно само делится на 25, его сумма цифр делится на 25 и его произведение цифр делится на 25. Найдите все восхитительные числа.
Решение. Представим четырёхзначное число x в виде :
Применим признак делимости на 25:
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75.
Тогда искомое число может имеет 4 вида:
1)
2)
3)
4)
Для этих чисел проверим остальные условия:
1)
.
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+0+0≤9+9+0+0=18<25, поэтому сумма цифр не делится на 25. Не подходит!
2)
.
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+2+5=a+b+7≤9+9+7=25.
Отсюда, сумма цифр только числа 9925 делится на 25.
Произведение цифр этого числа равно 810 и не делится на 25. Не подходит!
3)
.
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+5+0=a+b+5≤9+9+5=23<25, поэтому сумма цифр не делится на 25. Не подходит!
4)
.
Для суммы цифр числа выполняется неравенство
0<1+0+0+0≤a+b+7+5=a+b+12. Тогда должен выполнятся равенство:
a+b+12=25 или a+b=13. Отсюда видно, что a и b не равны.
Применим условие задачи "произведение цифр делится на 25". Произведение цифр равно a·b·7·5 и делится на 5. Так как a и b цифры, то для того, чтобы a·b·7·5 делился на 25 (=5·5), хотя бы один из множителей a или b должен делится на 5.
а) пусть a=5. Тогда из a+b=13 получаем, что b=13-5=8;
б) пусть b=5. Тогда из a+b=13 получаем, что a=13-5=8.
ответ: x=5875 или x=8575.