Question

Докажите, что точки а(-3; -7; -5), в(0; -1; -2) и с(2; 3; 0) лежат на одной прямой, причем точка в расположена между а и с.

Answer 1

Для доказательства того, что точки А(-3; -7; -5), В(0; -1; -2) и С(2; 3; 0) лежат на одной прямой, мы можем воспользоваться свойствами векторов и уравнениями прямой в пространстве.

Шаг 1: Найдем векторы AB и BC.

Вектор AB может быть найден путем вычитания координат точки А из координат точки В:

AB = В - А = (0 - (-3); -1 - (-7); -2 - (-5)) = (3; 6; 3)

Вектор BC может быть найден путем вычитания координат точки B из координат точки C:

BC = C - В = (2 - 0; 3 - (-1); 0 - (-2)) = (2; 4; 2)

Шаг 2: Проверим, являются ли векторы AB и BC коллинеарными.

Два вектора считаются коллинеарными, если они пропорциональны. То есть, вектор AB и вектор BC должны быть параллельными и иметь одинаковую или противоположную направленность.

Мы можем сравнить отношения компонент векторов AB и BC между собой для проверки коллинеарности:

AB/BC = (3/2; 6/4; 3/2) = (3/2; 3/2; 3/2)

Так как отношение всех компонент равно, это подтверждает, что векторы AB и BC коллинеарны.

Шаг 3: Подтверждаем, что точка В расположена между А и С.

Мы можем использовать формулу, которая выражает отношение расстояния между точками A и B к расстоянию между точками A и C при условии, что точка В находится между А и С:

AB/AC = (AB/BC) + (BC/AC) = 1

Если абсолютное значение выражения AB/AC равно 1, это означает, что точка В находится между точками А и С.

В нашем случае, AB/AC = 1/1 = 1, и поэтому точка В действительно находится между точками А и С.

Таким образом, мы доказывем, что точки А(-3; -7; -5), В(0; -1; -2) и С(2; 3; 0) лежат на одной прямой, и точка В находится между точками А и С.