2. дано: a (2; -1), в (4; 3) - концы диаметра окружности.
составьте уравнение этой окружности и прямой, проходящей через
ее центр и параллельно оси ординат.
3.
прямые заданы уравнениями х– 2y +3=0 и х-2=(0)
a) начертите эти прямые в одной системе координат.
б) найдите координаты точки пересечения этих прямых..
b) найдите площадь треугольника, образованными этими прямыми
и осью ординат.
1. Составление уравнения окружности и прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.
Для начала, давайте найдем координаты центра окружности. Центр окружности находится посередине между концами диаметра, поэтому его координаты равны среднему значению координат концов диаметра. Используем формулу для нахождения среднего значения:
x-координата центра = (x-координата точки a + x-координата точки в) / 2
= (2 + 4) / 2
= 6 / 2
= 3
у-координата центра = (y-координата точки а + y-координата точки в) / 2
= (-1 + 3) / 2
= 2 / 2
= 1
Таким образом, центр окружности имеет координаты (3, 1).
Теперь, чтобы создать уравнение окружности, нам нужно знать радиус окружности. Мы можем найти его с помощью формулы расстояния между двумя точками:
Расстояние между точками = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]
Подставляем координаты центра окружности (3, 1) и одну из точек диаметра (2, -1) в формулу:
Расстояние = √[(2 - 3)² + (-1 - 1)²]
= √[(-1)² + (-2)²]
= √[1 + 4]
= √5
По определению радиуса, радиус окружности равен расстоянию между центром и любой из точек на окружности. У нас это расстояние равно √5.
Теперь, с помощью радиуса и координат центра окружности, мы можем записать уравнение окружности в следующем виде:
(x - х-координата центра)² + (у - y-координата центра)² = радиус²
Подставляем известные значения:
(x - 3)² + (у - 1)² = (√5)²
(x - 3)² + (у - 1)² = 5
Таким образом, уравнение окружности имеет вид (x - 3)² + (у - 1)² = 5.
Для построения прямой, проходящей через центр окружности и параллельной оси ординат, мы знаем, что координаты центра окружности (3, 1). Прямая, параллельная оси ординат, будет иметь уравнение вида x = c, где с - константа.
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через центр окружности и параллельной оси ординат, имеет вид x = 3.
Перейдем ко второму вопросу.
2. Начертить прямые в одной системе координат и найти точку пересечения.
a) Для начертания прямых в одной системе координат, построим график каждого уравнения на координатной плоскости.
Первое уравнение: x - 2y + 3 = 0
Для построения прямой, нам нужно найти две точки на ней. Принято проводить график, подставляя различные значения x и рассчитывая соответствующие значения y или наоборот. Давайте найдем две точки:
Когда x = 0, получаем:
0 - 2y + 3 = 0
-2y + 3 = 0
-2y = -3
y = 3/2
Точка (0, 3/2)
Когда y = 0, получаем:
x - 2(0) + 3 = 0
x + 3 = 0
x = -3
Точка (-3, 0)
b) Найдем координаты точки пересечения этих прямых, решив их систему уравнений.
Первое уравнение: x - 2y + 3 = 0
Второе уравнение: x - 2 = 0
Решение его системы можно найти по методу подстановки или методу сложения / вычитания. В данном случае проще будет использовать метод подстановки.
Подставим второе уравнение в первое:
(х - 2) - 2у + 3 = 0
х - 2у + 1 = 0
Теперь решим полученное уравнение:
х = 2у - 1
Подставим это обратно в уравнение x - 2 = 0:
2у - 1 - 2 = 0
2у - 3 = 0
2у = 3
у = 3/2
Таким образом, координаты точки пересечения прямых равны (3, 3/2).
3. Найдем площадь треугольника, образованного этими прямыми и осью ординат.
Треугольник, образованный этими прямыми и осью ординат, имеет одну вершину на оси ординат, вторую вершину на оси абсцисс, а третья вершина - точка пересечения прямых (3, 3/2).
Таким образом, высота треугольника равна 3/2, а основание - 3.
Площадь треугольника можно рассчитать по формуле:
Площадь = (основание * высота) / 2
= (3 * 3/2) / 2
= 9/4
Таким образом, площадь треугольника, образованного этими прямыми и осью ординат, равна 9/4.