Question

Решить тригонометрическое уравнение ​

Answer 1

$\sin^2x+\dfrac{1}{4}\sin^23x=\sin x\sin^23x\\ \\\\$

В левой части уравнения применим неравенство Коши

$\sin^2x +\dfrac{1}{4}\sin^23x\geq 2\sin x\cdot \dfrac{1}{2}\sin3x=\sin x\sin 3x$

Поэтому это равенство возможно, когда

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\sin x=0\\ \\ \sin 3x=1\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}x_1=\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_2=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}\end{array}\right$— ОТВЕТ.

Answer 2

$sin^2x+\frac{1}{4}sin^2(3x)=sinx*sin^2(3x)$

для удобства сделаем замену:

$sinx=a,\ a \in [-1;1]$

также:

$sin3x=3sinx-4sin^3x=3a-4a^3$

получим:

$a^2+\frac{1}{4}(3a-4a^3)^2=a(3a-4a^3)^2\\a^2+\frac{1}{4}(3a-4a^3)^2-a(3a-4a^3)^2=0\\a^2(1+\frac{1}{4}(3-4a^2)^2-a(3-4a^2)^2)=0\\a_1=0\\1+4a^4-6a^2+\frac{9}{4} -16a^5+24a^3-9a=0\\-16 a^5 + 4 a^4 + 24 a^3 - 6 a^2 - 9 a + \frac{13}{4}=0\\a^5-\frac{1}{4} a^4-\frac{3}{2} a^3+\frac{3}{8} a^2+\frac{9}{16}a -\frac{13}{64}=0$

подбираем корни:

$P(a)=a^5-\frac{1}{4} a^4-\frac{3}{2} a^3+\frac{3}{8} a^2+\frac{9}{16}a -\frac{13}{64}$

$a=1\Rightarrow P(1)=1-\frac{1}{4} -\frac{3}{2} +\frac{3}{8} +\frac{9}{16} -\frac{13}{64}=-\frac{1}{64} \neq 0\\a=-1\Rightarrow P(-1)=-1-\frac{1}{4} +\frac{3}{2} +\frac{3}{8} -\frac{9}{16} -\frac{13}{64}=-\frac{9}{64} \neq 0\\a=\frac{1}{2}\Rightarrow P(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^5} -\frac{1}{4} *\frac{1}{2^4} -\frac{3}{2} *\frac{1}{2^3} +\frac{3}{8} *\frac{1}{2^2} +\frac{9}{16}*\frac{1}{2} -\frac{13}{64}=0$

$a_2=\frac{1}{2}$

используем схему горнера:(см. вложение)

Получим:

$(a-\frac{1}{2})^2(a^3+\frac{3}{4}a^2-a-\frac{13}{16})=0$

$a^3+\frac{3}{4}a^2-a-\frac{13}{16}=0\\16a^3+12a^2-16a-13=0$

Используем формулу Кардано:

уравнение вида

ax^3+bx^2+cx+d=0

с замены

$x=y-\frac{b}{3a}$

приводим к виду

$y^3+py+q=0$

где:

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

Для данного уравнения(для удобства a заменим на x):

$16x^3+12x^2-16x-13=0\\a=16;\ b=12;\ c=-16;\ d=-13$

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}=\frac{3*16*(-16)-12^2}{3*16^2} =-\frac{19}{16} \\q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=\frac{2*12^3+9*16*12*16+27*16^2*(-13)}{27*16^3} =-\frac{17}{32}$

Определим величину Q:

$Q=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2=(\frac{-\frac{19}{16} }{3} )^3+(\frac{-\frac{17}{32}}{2} )^2=\frac{59}{6912}$

Q>0 => уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня

Ищем только действительный корень:

$y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{-\frac{17}{64}+\sqrt{\frac{59}{6912}}}+\sqrt[3]{-\frac{17}{64}-\sqrt{\frac{59}{6912}}}$

$x=\sqrt[3]{-\frac{17}{64}+\sqrt{\frac{59}{6912}}}+\sqrt[3]{-\frac{17}{64}-\sqrt{\frac{59}{6912}}}-\frac{1}{4}$

В итоге:

$a_3=\sqrt[3]{\frac{17}{64}+\sqrt{\frac{59}{6912}}}+\sqrt[3]{\frac{17}{64}-\sqrt{\frac{59}{6912}}}-\frac{1}{4}\approx1,0175\notin [-1;1]$

обратная замена:

$sinx=0\\x_1=\pi n,\n \in Z\\sinx=\frac{1}{2}\\x_2=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n \in Z\\x_3=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n \in Z\\$

ответ: $x_1=\pi n,\n \in Z;\ x_2=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n \in Z;\ x_3=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n \in Z$