Question

Решить тригонометрическое уравнение​

Answer 1

$\Big(\cos 4x-\cos 2x\Big)^2=5+\sin 3x\\ \\ \Big(2\cos^2x-1-\cos 2x\Big)^2=5+\sin 3x\\ \\ \left(2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\right)^2=5+\sin 3x$

Оценим левую и правую части уравнения

$-1\leq \cos 2x\leq 1~~~\bigg|-\dfrac{1}{4}\\ \\ -\dfrac{5}{4}\leq \cos 2x-\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{3}{4}\\ \\ 0\leq \left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2\leq \dfrac{25}{16}~~~|\cdot 2\\ \\ \\ 0\leq 2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2\leq \dfrac{25}{8}~~~\bigg|-\dfrac{9}{8}\\ \\ \\ -\dfrac{9}{8}\leq 2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\leq 2\\ \\ \\ 0\leq \left(2\left(\cos 2x-\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\right)^2\leq 4$

Правая часть уравнения:

$-1\leq \sin 3x\leq 1~~~|+5\\ \\ 4\leq 5+\sin 3x\leq 6$

Как видим, уравнение верно когда $(\cos 4x-\cos 2x)^2=4$ или $5+\sin 3x=4$

$(\cos 4x-\cos 2x)^2=4\\ \\ \cos 4x-\cos 2x=\pm 2\\ \\ 2\cos^22x-\cos 2x-1=\pm2$

Уравнение $2\cos^22x-\cos 2x-1=-2$ решений не имеет, поскольку если решить уравнение как квадратное уравнение относительно cos2x то его дискриминант < 0.

$2\cos^22x-\cos 2x-1=2\\ \\ 2\cos^22x-\cos 2x-3=0\\ \\ D=1-4\cdot 2\cdot (-3)=25\\ \\ \cos 2x=\dfrac{1+5}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{2}~~~\notin [-1;1]\\\\\\ \cos 2x=\dfrac{1-5}{2\cdot 2}=-1~~~\Rightarrow~~~ 2x=\pi +2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

$5+\sin 3x=4\\ \\ \sin3x=-1\\ \\ \boxed{x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi k}{3}, k\in \mathbb{Z}}$