Для того чтобы решить данное дифференцированное уравнение, будем использовать метод разделяющих переменных. Прежде всего, выделим все члены с dy и dx на разные стороны уравнения:
(y/x^2)cos(y/x)dx - (1/x)cos(y/x)dy - 2ydy = 0
Теперь преобразуем уравнение, чтобы получить отдельное уравнение для dx и dy. Для этого разделим оба члена уравнения на x^2cos(y/x):
(y/x^2)dx - (1/x)dy - 2ydy/cos(y/x) = 0
Теперь перепишем уравнение, разделяя переменные:
(y/x^2)dx - (1/x)dy = 2ydy/cos(y/x)
Приведем подобные члены в правой части уравнения:
(y/x^2)dx - (1/x)dy = 2ydy * sec(y/x)
Теперь разделим обе части уравнения на y и переместим x вместе с dx:
Для интегрирования первого члена воспользуемся формулой интегрирования:
∫(dx/x^4) = -1/3x^3 + C1
Для интегрирования второго члена воспользуемся формулой интегрирования:
∫(dy/y^2) = -1/y + C2
Теперь интегрируем правую часть уравнения. Заметим, что правая часть содержит смешанные переменные: y и x. Чтобы упростить интегрирование, введем новую переменную u = y/x:
2∫(dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)) = 2∫(du * sec u / x) = 2∫(sec u / x)du
Для интегрирования ∫(sec u / x)du воспользуемся формулой интегрирования:
∫(sec u / x)du = ln|sec u + tan u| / x + C3
Теперь возвращаемся к исходному виду выражения:
-1/3x^3 - 1/y + ln|sec(u) + tan(u)|/x = C
Подставляем обратно значение u = y/x:
-1/3x^3 - 1/y + ln|sec(y/x) + tan(y/x)|/x = C
Это - финальный ответ на дифференциальное уравнение. Он содержит константу интегрирования C, которую можно найти, зная начальные условия (значение функции y и соответствующее значение x).
1) точка косания внутренне касающихся окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Пояснение: Если внутренняя окружность касается внешней окружности, то точка касания будет находиться на прямой линии, проходящей через центры обеих окружностей.
2) расстояние между центрами двух касающихся окружностей равно радиусам этих окружностей. Пояснение: Так как они касаются друг друга, то расстояние между их центрами будет равно сумме их радиусов.
3) Хорда, имеющая те же концевые точки, что и дуга, называется хордой этой дуги. Пояснение: Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Если эти точки являются концами дуги, то этот отрезок называется хордой этой дуги.
4) Всякий диаметр окружности является осью симметрии. Пояснение: Ось симметрии - это линия, которая делит фигуру на две симметричные части. Диаметр проходит через центр окружности и делит ее на две равные части, поэтому он является осью симметрии.
5) Если две хорды одной окружности равны, то соответствующие им дуги также равны. Пояснение: Если две хорды имеют одинаковую длину, то соответствующие им части окружности (дуги) также будут иметь одинаковую длину.
(y/x^2)cos(y/x)dx - (1/x)cos(y/x)dy - 2ydy = 0
Теперь преобразуем уравнение, чтобы получить отдельное уравнение для dx и dy. Для этого разделим оба члена уравнения на x^2cos(y/x):
(y/x^2)dx - (1/x)dy - 2ydy/cos(y/x) = 0
Теперь перепишем уравнение, разделяя переменные:
(y/x^2)dx - (1/x)dy = 2ydy/cos(y/x)
Приведем подобные члены в правой части уравнения:
(y/x^2)dx - (1/x)dy = 2ydy * sec(y/x)
Теперь разделим обе части уравнения на y и переместим x вместе с dx:
(dx/x^2) - (dy/y) = 2dy * sec(y/x) / y
Разделим обе части уравнения на x^2:
(dx/x^2)/x^2 - (dy/y)/y = 2dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)
Упростим выражение:
(dx/x^4) - (dy/y^2) = 2dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)
Теперь мы получили отдельное дифференциальное уравнение для dx и dy. Интегрируя это уравнение, мы сможем найти искомую функцию y(x).
Интегрируем обе части уравнения:
∫(dx/x^4) - ∫(dy/y^2) = ∫(2dy * sec(y/x) / y * (1/x^2))
Для интегрирования первого члена воспользуемся формулой интегрирования:
∫(dx/x^4) = -1/3x^3 + C1
Для интегрирования второго члена воспользуемся формулой интегрирования:
∫(dy/y^2) = -1/y + C2
Теперь интегрируем правую часть уравнения. Заметим, что правая часть содержит смешанные переменные: y и x. Чтобы упростить интегрирование, введем новую переменную u = y/x:
2∫(dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)) = 2∫(du * sec u / x) = 2∫(sec u / x)du
Для интегрирования ∫(sec u / x)du воспользуемся формулой интегрирования:
∫(sec u / x)du = ln|sec u + tan u| / x + C3
Теперь возвращаемся к исходному виду выражения:
-1/3x^3 - 1/y + ln|sec(u) + tan(u)|/x = C
Подставляем обратно значение u = y/x:
-1/3x^3 - 1/y + ln|sec(y/x) + tan(y/x)|/x = C
Это - финальный ответ на дифференциальное уравнение. Он содержит константу интегрирования C, которую можно найти, зная начальные условия (значение функции y и соответствующее значение x).