Question

Найдите точку пересечения прямой, проходящей через точку p(12; 9; 1) параллельно вектору

l ={4; 3; 1} и плоскости 3x+5y-z-2=0. ответ запишите в виде (x; y; z) без пробелов. в качестве десятичного разделителя используйте запятую.

Answer 1

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, мы должны найти координаты точки, которые удовлетворяют уравнениям и принадлежат и плоскости, и прямой.

Для начала, найдем уравнение плоскости в параметрической форме. Подставим значения коэффициентов из уравнения плоскости:

3x + 5y - z - 2 = 0

Заменим z на параметр t:

3x + 5y - t - 2 = 0

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку p(12; 9; 1) параллельно вектору l = {4; 3; 1}. Уравнение прямой в параметрической форме имеет вид:

x = 12 + 4t
y = 9 + 3t
z = 1 + t

Теперь у нас есть две параметрические формы: для плоскости и для прямой. Мы можем сравнить уравнения и найти значение параметра, при котором и прямая, и плоскость выполняются одновременно.

Подставим значения x, y и z из уравнения прямой в уравнение плоскости:

3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) - (1 + t) - 2 = 0

Раскроем скобки и упростим:

36 + 12t + 45 + 15t - 1 - t - 2 = 0

Соберем все коэффициенты при t:

12t + 15t - t + 36 + 45 - 1 - 2 = 0

26t + 78 = 0

26t = -78

t = -78 / 26

t = -3

Теперь найдем значения x, y и z, подставив t = -3 в уравнение прямой:

x = 12 + 4(-3) = 12 - 12 = 0
y = 9 + 3(-3) = 9 - 9 = 0
z = 1 + (-3) = 1 - 3 = -2

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (0; 0; -2).