Question

Найти значение производной в точке x0
f(x) = 3x^2+8x+3 x0=1
f(x)= x-18/x x0=3
f(x)= 2x^2*cosx, x0= п/4
найдите производную функции
f(x) = 2^4x-1
f(x) = ln (x^3+5x)

Answer 1

1) 14

2) 2 или 3 (см.решение)

3) $\frac{\pi \sqrt{2}}{2}-\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{16}$

4) $16^xln16$

или $2^{4x-1}ln2 \cdot4$ (см.решение)

5) $\frac{3x^2+5}{x^3+5x}$

Пошаговое объяснение:

1) $F(x)=3x^2+8x+3\\F'(x)=(3x^2)'+(8x)'+(3)'=3(x^2)'+8(x)'+(3)'$

Производная от константы (от тройки), равна нулю.

Производная от $x$ равна единице.

Производная от $x^2$ равна $2x$.

$3(x^2)'+8(x)'+(3)'=3\cdot2x+8\cdot1+0=6x+8$

Подставляем $x_{0}=1$:

$6x+8=6+8=14$

2.1) Если имелось в виду следующее: $\frac{x-18}{x}$

То здесь надо использовать формулу для производной от частного:

$\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

$(\frac{x-18}{x})'=\frac{1\cdot x-(x-18)\cdot 1}{x^2}=\frac{18}{x^2}$

Подставляем $x_{0}=3$

$\frac{18}{x^2}=\frac{18}{9}=2$

2.2) Если имелось в виду следующее: $x-\frac{18}{x}$

$(x-\frac{18}{x})'=1-(-\frac{18}{x^2})=1+\frac{18}{x^2}$

Подставляем $x_{0}=3$

$1+\frac{18}{x^2}=1+2=3$

3) $2x^2\cdot cosx$

Используем формулу для производной от произведения:

$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$(2x^2\cdot cosx)'=4x\cdot cosx + 2x^2(-sinx)=2x(2cosx-xsinx)$

Подставляем $x_{0}=\pi/4$

$2x(2cosx-xsinx)=2\cdot \pi/4(2cos\frac{\pi}{4}-xsin\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}(2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi}{4}\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}-\frac{\pi^2 \sqrt{2}}{16}$

4.1) Если имелось в виду следующее:

$f(x)=2^{4x}-1$

$f'(x)=(2^{4x}-1)'=(16^x-1)'=16^xln16$

4.2) Если имелось в виду следующее:

$f(x)=2^{4x-1}$

Используется формула для вычисление производной от сложной функции:

$(f(g))'=f'(g)\cdot g'$

$f'(x)=(2^{4x-1})'=2^{4x-1}ln2 \cdot4$

5)

$f(x)=ln(x^3+5x)$

Дифференциируем по правилу для сложной функции:

$f'(x)=(ln(x^3+5x))'=\frac{1}{x^3+5x}\cdot (3x^2+5)=\frac{3x^2+5}{x^3+5x}$