Question

Относительно аффинной системы координат дан треугольник авс. определить длины базисных векторов и угол между ними, если известны координаты вершин, длины некоторых сторон и некоторые углы: а(1,1),в(5,3),с(3,5), |ав|=корень из 52,|ас|=4,|вс|=корень из 28;

15 , подробно

2 9 варика

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов и теоремой синусов.

Шаг 1: Найдём длину стороны AB.
Известно, что |AB| = √52. Распишем теорему косинусов для треугольника АВС:
|AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2*|AC|*|BC|*cos(
Подставляем известные значения:
(√52)^2 = 4^2 + |BC|^2 - 2*4*|BC|*cos(
Решаем уравнение:
52 = 16 + |BC|^2 - 8|BC|cos(
Шаг 2: Найдём длину стороны AC.
Известно, что |AC| = 4. Подставляем значения в уравнение косинусов для треугольника АСВ:
|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2*|AB|*|BC|*cos(
Подставляем известные значения:
4^2 = (√52)^2 + |BC|^2 - 2*√52*|BC|*cos(
Решаем уравнение:
16 = 52 + |BC|^2 - 2√52*|BC|cos(
Шаг 3: Найдём длину стороны BC.
Известно, что |BC| = √28. Подставляем значения в уравнение косинусов для треугольника АСВ:
|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 - 2*|AB|*|AC|*cos(
Подставляем известные значения:
(√28)^2 = (√52)^2 + 4^2 - 2*√52*4*cos(
Решаем уравнение:
28 = 52 + 16 - 8√13*cos(
Шаг 4: Найдём угол Воспользуемся теоремой косинусов:
cos(
Подставляем известные значения:
cos(
Вычисляем значения:
cos( cos( cos(
Находим угол
Шаг 5: Найдём угол Воспользуемся теоремой синусов:
sin(
Подставляем известные значения:
sin(
Вычисляем значения:
sin( sin(
Находим угол
Шаг 6: Найдём длины базисных векторов.
Базисные векторы можно найти, используя координаты вершин треугольника.

Для первого базисного вектора e1 найдём разность координат между вершинами A и B:
e1 = B - A = (5, 3) - (1, 1) = (4, 2)

Для второго базисного вектора e2 найдём разность координат между вершинами A и C:
e2 = C - A = (3, 5) - (1, 1) = (2, 4)

Таким образом, длины базисных векторов равны:
|e1| = √(4^2 + 2^2) = √20 ≈ 4.47
|e2| = √(2^2 + 4^2) = √20 ≈ 4.47

Шаг 7: Найдём угол между базисными векторами.
Воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
cos(θ) = (e1 * e2) / (|e1| * |e2|)

Подставляем значения:
cos(θ) = (4*2 + 2*4) / (4.47 * 4.47)
cos(θ) = 16 / 20
cos(θ) = 0.8

Находим угол θ:
θ = arccos(0.8)
θ ≈ 36.87°

Итак, мы определили длины базисных векторов и угол между ними:
|e1| ≈ 4.47, |e2| ≈ 4.47, θ ≈ 36.87°