Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол.
Метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .
Запись лишь обозначает, что количество отрезков чётно.
В данной задаче: десять: .
Наше разбиение имеет следующий вид:
Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами.
Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
, где:
– длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
– значения подынтегральной функции в точках .
Удобнее применить формулу Симпсона для каждого шага, а потом просуммировать результат.
Справа даны округлённые значения. Запятая – это разделитель, i это площадь участка по формуле Симпсона.
Для сравнения приводится значение этого интеграла по формуле трапеций.
x = -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y = 0 2,645751 2,828427 3 4 5,91608 8,485281 11,53256 14,96663 18,73499 22,80351
Трапеций 1,322875656 2,737089 2,914214 3,5 4,95804 7,200681 10,00892 13,2496 16,85081 20,76925 83,51148
x = -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8
y = 2,150581 2,806243 2,850439 3,372684 4,860556 7,132671 9,956154 13,20511 16,81145 20,73343 22,80351
f(x) = 1,874679 2,783192 2,871697 3,415123 4,89305 7,155341 9,973743 13,21994 16,82457 20,74537 83,75671
Симпсона
Если по этой копии трудно разобраться, то во вложении приведен оригинал расчёта, распечатанный в Word.
Для построения графика прямой линии достаточно определить координаты двух точек.
Эти точки можно взять с определения точек пересечения с осями координат.
1)3х+у=6
х=0 у=(6-3х)/1=(6-3*0)/1=6/1=6
у=0 х=(6-1у)/3=(6-1*0)/3=6/3=2
Получили координаты точек А(0;6) и В(2;0).
Через эти точки проводится прямая, которая и является графиком уравнения 3х+у=6
2) -3х+2у=4
х = 0 у = (4+3х)/2 = (4+3*0)/2=4/2=2
у = 0 х =(4-2у)/-3=(4-2*0)/-3=4/-3=-1 1/3
Получили координаты точек А(0;2) и В(-1 1/3;0).
Через эти точки проводится прямая, которая и является графиком уравнения -3х+2у=4
и,т,д,