Question

1)производная функции y=1+cosx/1-cosx в точке 2pi/3
2)наибольшая разность f(x1)-f(x2) значений функции f(x)=(4-x)(x^2+x-5)на отрезке[-4; 5]
3)абциссы точек графика функции y=1-cosx, в которых параллельна прямой 2y-x+1=0 , составляют множество (n€z)

Answer 1

1) Чтобы найти производную функции y=1+cosx/1-cosx в точке 2pi/3, мы должны взять производную и подставить значение x = 2pi/3.

Для начала, заметим, что для данной функции у нас есть составная функция, y=f(x)/g(x), где f(x) = 1 + cosx и g(x) = 1 - cosx. Мы можем использовать правило производной для частного функций:

f'(x) = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2

Теперь найдем производные для функций f(x) и g(x):

f'(x) = -sinx
g'(x) = sinx

Подставим значения в формулу производной частного:

f'(x) = [(1 - cosx)(-sinx) - (1 + cosx)(cosx)] / [(1 - cosx)]^2

Теперь заменим x на 2pi/3:

f'(2pi/3) = [(1 - cos(2pi/3))(-sin(2pi/3)) - (1 + cos(2pi/3))(cos(2pi/3))] / [(1 - cos(2pi/3))]^2

Вычислим значения функций sin(2pi/3) и cos(2pi/3):

sin(2pi/3) = √3/2
cos(2pi/3) = -1/2

Подставим значения и упростим выражение:

f'(2pi/3) = [(1 + 1/2)(√3/2) - (1 - 1/2)(-1/2)] / [(1 + 1/2)]^2
= [(2 + √3)/2 + 1/2] / (3/2)^2
= [(2 + √3)/2 + 1/2] / 9/4
= [(4 + 2√3 + 2)/4] / 9/4
= (6 + 2√3) / 9
= (2 + √3) / 3

Таким образом, производная функции y=1+cosx/1-cosx в точке 2pi/3 равна (2 + √3) / 3.

2) Чтобы найти наибольшую разность f(x1)-f(x2) для функции f(x) = (4-x)(x^2+x-5) на отрезке [-4; 5], мы должны использовать теорему Ролля.

Сначала найдём значения функции на концах отрезка:

f(-4) = (4-(-4))[(-4)^2+(-4)-5] = 8[16-4-5] = 8*7 = 56
f(5) = (4-5)[(5)^2 + 5 - 5] = (-1)[25+5-5] = (-1)*25 = -25

Теперь найдём производные функции на интервалах между точками:

f'(x) = (4-x)(2x+1) + (x^2+x-5)(-1)
= 8x-x^2 +4-2x + x^2 + x - 5
= -x^2 + 11x - 1

Найдём корни производной, решив уравнение -x^2 + 11x - 1 = 0:

x = (-11 ± √(11^2 - 4*(-1)*(-1))) / (2*(-1))
= (-11 ± √(121 - 4)) / (-2)
= (-11 ± √(117)) / (-2)
= (-11 ± 3√13) / (-2)

Корни производной равны (-11 + 3√13) / (-2) и (-11 - 3√13) / (-2).
Проверим, являются ли они внутренними точками интервала [-4; 5].

(-11 + 3√13) / (-2) ≈ 5.08
(-11 - 3√13) / (-2) ≈ -0.08

Таким образом, у нас есть две внутренние точки, одна около 5.08, а другая около -0.08. Найдем значения функции в этих точках:

f(5.08) ≈ 172.45
f(-0.08) ≈ 3.06

Теперь найдем разность f(x1)-f(x2) для каждой пары точек:

Разность для точек (-4, 5.08): f(-4)-f(5.08) = 56 - 172.45 ≈ -116.45
Разность для точек (-4, -0.08): f(-4)-f(-0.08) = 56 - 3.06 ≈ 52.94
Разность для точек (5, 5.08): f(5)-f(5.08) = -25 - 172.45 ≈ -197.45
Разность для точек (5, -0.08): f(5)-f(-0.08) = -25 - 3.06 ≈ -28.06

Наибольшая разность f(x1)-f(x2) составляет около 52.94.

3) Чтобы найти абсциссы точек графика функции y=1-cosx, в которых параллельна прямой 2y-x+1=0, мы должны равенство коэффициентов при x уравнения прямой и функции y=1-cosx.

Уравнение функции y=1-cosx может быть переписано в виде x = cos^(-1)(1-y).

Теперь запишем уравнение прямой 2y-x+1=0 в виде y = (x-1)/2.

Коэффициент при x для функции y=1-cosx равен 0, а для прямой равен 1/2.

Таким образом, нам нужно найти значения y=1-cosx, при которых y = (x-1)/2.

Подставим (x-1)/2 вместо y в уравнении функции:

1 - cosx = (x-1)/2

Раскроем скобки:

2 - 2cosx = x - 1

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

2cosx + x - 3 = 0

Это уравнение не может быть решено аналитически, поэтому мы можем найти его корни с помощью численных методов или графическим способом.

Множество абсцисс точек графика функции y=1-cosx, в которых параллельна прямой 2y-x+1=0, составляют множество различных значений x. Количество таких значений (n) будет зависеть от количества корней уравнения 2cosx + x - 3 = 0, что может быть выяснено с помощью графического метода или численных методов. В данном случае, значение n будет целым числом из множества натуральных чисел (n ∈ N).