Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на отрезке (а,б) y=xe^-2x^2, (0; 1)

Answer 1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке (a, b), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции y = f(x). Используем правило дифференцирования произведения функций:

y = x * e^(-2x^2)
y' = d/dx(x) * e^(-2x^2) + x * d/dx(e^(-2x^2))
y' = 1 * e^(-2x^2) + x * (-4x * e^(-2x^2))
y' = e^(-2x^2) - 4x^2 * e^(-2x^2)

2. Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю, и найдем значения x:

e^(-2x^2) - 4x^2 * e^(-2x^2) = 0

Перенесем одно слагаемое на другую сторону:

e^(-2x^2) = 4x^2 * e^(-2x^2)

Разделим обе части уравнения на e^(-2x^2):

1 = 4x^2

Разделим обе части уравнения на 4:

1/4 = x^2

Извлечем корень из обеих сторон уравнения:

√(1/4) = √(x^2)

1/2 = |x|

Так как отрезок (a, b) содержит только положительные значения, то x = 1/2.

3. Теперь найдем значения функции в найденной критической точке и на краях отрезка (a, b):

a = 0
b = 1
x = 1/2

y(a) = f(a) = a * e^(-2a^2) = 0 * e^(-2 * 0^2) = 0

y(b) = f(b) = b * e^(-2b^2) = 1 * e^(-2 * 1^2) = e^(-2)

y(x) = f(x) = x * e^(-2x^2) = (1/2) * e^(-2 * (1/2)^2) = (1/2) * e^(-1/2^2) = (1/2) * e^(-1/4)

4. Сравним значения функции в критической точке и на краях отрезка, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение:

Наименьшее значение: минимальное из y(a), y(b), y(x)
: min{0, e^(-2), (1/2) * e^(-1/4)}

Наибольшее значение: максимальное из y(a), y(b), y(x)
: max{0, e^(-2), (1/2) * e^(-1/4)}

Теперь остается только вычислить эти значения точно:

y(a) = 0, y(b) = e^(-2), y(x) = (1/2) * e^(-1/4)

Таким образом, наименьшим значением функции на отрезке (0, 1) является 0, а наибольшим значением является e^(-2).