На множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) задано отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3 ". покажите, что данное отношение есть отношение эквивалентности, и запишите все классы эквивалентности, на которые разбивается множество х. сколько таких классов получилось?
Для начала давайте разберемся, что такое отношение эквивалентности. Отношение эквивалентности на множестве - это отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
1. Рефлексивность: Для того чтобы отношение было рефлексивным, оно должно выполняться для каждого элемента множества самого с собой. В нашем случае это означает, что каждый элемент множества х имеет тот же остаток при делении на 3, что и сам.
Давайте проверим каждый элемент множества х:
- 1 имеет остаток 1 при делении на 3.
- 2 имеет остаток 2 при делении на 3.
- 3 имеет остаток 0 при делении на 3.
- 4 имеет остаток 1 при делении на 3.
- 5 имеет остаток 2 при делении на 3.
- 6 имеет остаток 0 при делении на 3.
- 7 имеет остаток 1 при делении на 3.
- 8 имеет остаток 2 при делении на 3.
- 9 имеет остаток 0 при делении на 3.
- 10 имеет остаток 1 при делении на 3.
Как мы видим, каждый элемент множества имеет тот же остаток при делении на 3, что и сам. Следовательно, данное отношение является рефлексивным.
2. Симметричность: Для того чтобы отношение было симметричным, если элемент a связан с элементом b, то элемент b также должен быть связан с элементом a.
В нашем случае, возьмем два любых элемента множества х, например, 4 и 7. Оба имеют остаток 1 при делении на 3, значит, они связаны между собой. Или возьмем элементы 2 и 8, они оба имеют остаток 2 при делении на 3 и также связаны между собой.
Таким образом, если элемент a связан с элементом b, то элемент b также связан с элементом a.
3. Транзитивность: Для того чтобы отношение было транзитивным, если элемент a связан с элементом b, и элемент b связан с элементом c, то элемент a также должен быть связан с элементом c.
Возьмем элементы 3, 6 и 9. Все они имеют остаток 0 при делении на 3, значит, они связаны между собой. Если элемент 3 связан с элементом 6 и элемент 6 связан с элементом 9, то по транзитивности элемент 3 также должен быть связан с элементом 9.
Таким образом, отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве х является отношением эквивалентности.
Теперь давайте разобьем множество х на классы эквивалентности. Классы эквивалентности - это подмножества множества х, в которых каждый элемент связан с каждым другим элементом.
Переберем каждый элемент множества х и найдем все элементы, которые связаны с ним:
- Класс эквивалентности для элемента 1: {1, 4, 7, 10}.
- Класс эквивалентности для элемента 2: {2, 5, 8}.
- Класс эквивалентности для элемента 3: {3, 6, 9}.
Итак, мы получили три класса эквивалентности на множестве х, каждый из которых состоит из элементов, имеющих один и тот же остаток при делении на 3.
Надеюсь, ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!