Question

Найти площадь фигуры,ограниченной прямой ,линией и осью абсцисс.

Answer 1

Как школьный учитель, я рад помочь тебе разобраться в этом математическом вопросе.

Для начала, давай посмотрим, как выглядят заданные линии на координатной плоскости.

Прямая y = 2 - x будет иметь отрицательный наклон, проходя через точку (0, 2) и (2, 0). Она будет выглядеть так:

^
|
2 | *
| *
| *
| *
| *
--------------
0 1 2 3 4

Линия y = sqrt(x) будет кривой, которая начинается в точке (0, 0) и медленно возрастает по мере увеличения значения x. Она будет выглядеть следующим образом:

^
|
2 | *
| *
| *
| *
| *
|*
--------------
0 1 2 3 4

Для решения этой задачи, мы должны найти точки пересечения этих двух линий – они образуют вершины треугольника, ограниченного всеми тремя линиями.

Для начала, найдем точку пересечения между y = 2 - x и y = sqrt(x).

Поставим эти уравнения равными друг другу и решим получившееся уравнение:

2 - x = sqrt(x)

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

4 - 4x + x^2 = x

Перенесем все значения влево:

x^2 - 5x + 4 = 0

Разложим на множители:

(x - 1)(x - 4) = 0

То есть x = 1 или x = 4.

Подставим эти значения обратно в одно из исходных уравнений:

При x = 1, y = 2 - 1 = 1.
При x = 4, y = 2 - 4 = -2.

Таким образом, точки пересечения обеих линий имеют координаты (1, 1) и (4, -2).

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими тремя линиями и осью абсцисс.

Мы можем разделить эту фигуру на две части – треугольник и прямоугольник.

Сначала найдем площадь треугольника. Площадь треугольника можно найти с помощью следующей формулы:

Площадь = (основание * высота) / 2

Мы видим, что основание треугольника равно расстоянию между точками пересечения (4 - 1 = 3), а высота треугольника - это значение функции y = sqrt(x), когда x = 4.

Подставим значения в формулу и получим площадь треугольника:

Площадь треугольника = (3 * sqrt(4)) / 2 = (3 * 2) / 2 = 3

Теперь найдем площадь прямоугольника. Мы видим, что его высота равна 1 (это значение функции y = 2 - x, когда x = 1), а его основание – это значение x между точками пересечения (1 и 4). То есть, основание прямоугольника равно 4 - 1 = 3.

Подставим значения в формулу для прямоугольника:

Площадь прямоугольника = 3 * 1 = 3

Наконец, найдем общую площадь фигуры, сложив площади треугольника и прямоугольника:

Общая площадь = площадь треугольника + площадь прямоугольника = 3 + 3 = 6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямой y = 2 - x, линией y = sqrt(x) и осью абсцисс, равна 6 квадратным единицам.