Пусть м - точка пересечения медиан остроугольного треуголника авс.докажите ,что если радиусы окружностей,вписанных в треугольники амв,вмс,сма равны, то треугольник авс - правильный
Площадь треугольника BOK равна KB*KO/2 (так как BKO прямой)
Угол OBK=альфа/2, так как BO биссектриса
Если обозначить точки касания на сторонах AB и AC через L и M соответственно и рассмотреть треугольники образованные точками касания, соседними вершинами треугольника и центром окружности, то окажется, что есть пары равных треугольников, из чего следует, что LB=KB, KC=MC, MA=LA. Подставляя эти равенства в LA+LB+KB+KC+MC+MA=2p, получаем 2MC+2MA+2KB=2p, откуда MC+MA+KB=p. С другой стороны, MC+MA=AC=a, поэтому KB=p-a
Тогда из треугольника OBK OB=KB*tg(альфа/2)=(p-a)*tg(альфа/2)
Стороны его в двое меньше, чем диагонали исходного.
Стороны параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям исходного четырехугольника.
Следовательно угол между смежными сторонами параллелограмма равен углу между диагоналями исходного четырехугольника.
Исходя из формулы площади четырехугольника по двум диагоналям и углу между нимии площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними, половина произведение диагоналей на синус угла между ними в два раза больше, чем произведение смежных сторон на синус угла между ними
Площадь треугольника BOK равна KB*KO/2 (так как BKO прямой)
Угол OBK=альфа/2, так как BO биссектриса
Если обозначить точки касания на сторонах AB и AC через L и M соответственно и рассмотреть треугольники образованные точками касания, соседними вершинами треугольника и центром окружности, то окажется, что есть пары равных треугольников, из чего следует, что LB=KB, KC=MC, MA=LA. Подставляя эти равенства в LA+LB+KB+KC+MC+MA=2p, получаем 2MC+2MA+2KB=2p, откуда MC+MA+KB=p. С другой стороны, MC+MA=AC=a, поэтому KB=p-a
Тогда из треугольника OBK OB=KB*tg(альфа/2)=(p-a)*tg(альфа/2)
Подставляя в формулу для площади получим
S=((p-a)^2*tg(альфа/2))/2