Question

Решите уравнение: 2arcsin2x - arcsinx-6=0, выберите правильный ответ

выберите один ответ:
1. -sin(1,5)
2. -sin(1,2)
3. -sin 2
4. -sin(1,3)

Answer 1

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические свойства функции арксинуса.

Сначала приведем данное уравнение к более простому виду. Изменим переменную в уравнении на t = sin(x). Тогда уравнение примет следующий вид:

2arcsin(2t) - arcsin(t) - 6 = 0.

Теперь вспомним свойство арксинуса: arcsin(A) + arcsin(B) = π/2, если A^2 + B^2 = 1 и A, B ∈ [-1, 1].

Мы можем применить данное свойство к нашему уравнению:

2arcsin(2t) - arcsin(t) = 6.

Таким образом, мы можем записать это как:

arcsin(2t) + arcsin(t) = π/2.

Теперь заметим, что arc(t) и arcsin(2t) являются углами, такими что sin(x) = t. Следовательно, мы можем рассматривать это уравнение как сумму углов.

arcsin(t) + arcsin(2t) = π/2.

Используя свойство суммы арксинусов, мы можем переписать данное уравнение:

arcsin(t √(1 - 4t^2)) = π/2.

Теперь найдем значения t, для которых выполняется:

t √(1 - 4t^2) = sin(π/2).

sin(π/2) = 1, поэтому можем записать:

t √(1 - 4t^2) = 1.

Разделим обе стороны на t:

√(1 - 4t^2) = 1/t.

Возводим обе стороны в квадрат:

1 - 4t^2 = 1/t^2.

Умножаем обе стороны на t^2:

t^2 - 4t^4 = 1.

Теперь перепишем исходное уравнение:

2arcsin(2t) - arcsin(t) - 6 = 0.

Воспользуемся свойствами арксинуса, чтобы выразить arcsin(2t) и arcsin(t):

arcsin(2t) = π/2 - arcsin(t).

Подставим значение в исходное уравнение:

2(π/2 - arcsin(t)) - arcsin(t) - 6 = 0.

Упростим это уравнение:

π - 2arcsin(t) - arcsin(t) - 6 = 0.

3arcsin(t) = π - 6.

arcsin(t) = (π - 6)/3.

Теперь найдем значение t.

Так как arcsin(t) ∈ [-π/2, π/2], тогда:

(π - 6)/3 ∈ [-π/2, π/2].

Умножим обе стороны на 3:

π - 6 ∈ [-3π/2, 3π/2].

Добавим 6 к обоим сторонам:

π ∈ [3π/2 + 6, 9π/2 + 6].

Очевидно, что это невозможно, так как π не входит в интервал [3π/2 + 6, 9π/2 + 6].

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Нет правильного ответа.