На данном этапе у нас возникает проблема, так как уравнение не имеет аналитического решения. Чтобы найти точку экстремума, воспользуемся численными методами.
Шаг 3: Воспользуемся графическим методом, построив график функции на отрезке [-11,5;0].
Чтобы построить график, значения функции y в различных точках на отрезке [-11,5;0] будут наши координаты точек на графике.
Шаг 4: Используем численные методы для нахождения ответа. На основании графика можно заметить, что функция убывает на отрезке [-11,5;0]. Это значит, что минимальное значение функции будет достигаться в конце отрезка при x = 0, так как дальше функция будет убывать и минимальное значение будет стремиться к отрицательной бесконечности.
Шаг 5: Подтвердим наше предположение, посчитав значение функции при x = 0.
y = 8*0 - ln(0 + 12)^8 = -ln(12)^8
Таким образом, наименьшее значение функции y=8x-ln(x+12)^8 на отрезке [-11,5;0] равно -ln(12)^8.
В данной задаче нам нужно написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (-3; -5; 4) и является перпендикулярной вектору N(2; -1; 6).
1) Сначала нам нужно найти нормальный вектор плоскости, так как у нас есть вектор N. Нормальный вектор плоскости является перпендикуляром к вектору, а значит его координаты будут равны координатам вектора N, только с противоположным знаком. Таким образом, нормальный вектор будет N'(-2; 1; -6).
2) Теперь у нас есть точка М(-3; -5; 4) и нормальный вектор плоскости N'(-2; 1; -6). Чтобы написать уравнение плоскости, мы должны использовать общую формулу уравнения плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0.
3) Подставим известные значения в уравнение плоскости:
-2x + y - 6z + D = 0,
где x, y, z - координаты любой точки на плоскости, а D - неизвестная константа, которую мы должны найти.
4) Подставим координаты точки М(-3; -5; 4) в уравнение плоскости:
-2(-3) + (-5) - 6(4) + D = 0,
6 - 5 - 24 + D = 0,
D = 23.
Таким образом, уравнение плоскости будет выглядеть:
-2x + y - 6z + 23 = 0.
5) Теперь мы можем построить плоскость. Для этого нужно найти еще две точки, лежащие на плоскости.
Заметим, что все решения уравнения плоскости будут лежать на плоскости, поэтому мы можем выбрать любые две простые точки и подставить их координаты в уравнение плоскости.
Допустим, мы выберем точки P(0; 0; 0) и Q(1; 1; 1). Подставим их координаты в уравнение плоскости:
-2(0) + 0 - 6(0) + 23 = 0,
-2(1) + 1 - 6(1) + 23 = 0.
Таким образом, точки P и Q должны лежать на плоскости.
6) Построим плоскость, используя эти три точки: M(-3; -5; 4), P(0; 0; 0) и Q(1; 1; 1). Нам нужно провести линии через каждую пару точек, чтобы получить треугольник. Этот треугольник будет представлять плоскость, проходящую через точку М и перпендикулярную вектору N.
Подводя итог, уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; -5; 4) и перпендикулярной вектору N(2; -1; 6), будет выглядеть: -2x + y - 6z + 23 = 0. Плоскость можно построить, проведя линии через точки M, P и Q.
Шаг 1: Найдём производную данной функции.
Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.
Производная функции по x равна:
y' = 8 - 8ln(x + 12) * (1 / (x + 12))
Шаг 2: Найдём точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив полученное уравнение.
8 - 8ln(x + 12) * (1 / (x + 12)) = 0
Упростим это уравнение:
8 = 8ln(x + 12) * (1 / (x + 12))
Сократим общий множитель:
1 = ln(x + 12) / (x + 12)
На данном этапе у нас возникает проблема, так как уравнение не имеет аналитического решения. Чтобы найти точку экстремума, воспользуемся численными методами.
Шаг 3: Воспользуемся графическим методом, построив график функции на отрезке [-11,5;0].
Чтобы построить график, значения функции y в различных точках на отрезке [-11,5;0] будут наши координаты точек на графике.
Шаг 4: Используем численные методы для нахождения ответа. На основании графика можно заметить, что функция убывает на отрезке [-11,5;0]. Это значит, что минимальное значение функции будет достигаться в конце отрезка при x = 0, так как дальше функция будет убывать и минимальное значение будет стремиться к отрицательной бесконечности.
Шаг 5: Подтвердим наше предположение, посчитав значение функции при x = 0.
y = 8*0 - ln(0 + 12)^8 = -ln(12)^8
Таким образом, наименьшее значение функции y=8x-ln(x+12)^8 на отрезке [-11,5;0] равно -ln(12)^8.