Question

Дана матрица
a= 3 −8 8
-8 −10 -7
8 11 8
выясните, какое из чисел λ=3 или λ=8 является собственным числом матрицы а.
найдите собственный вектор, отвечающий этому собственному числу.
собственный вектор запишите в виде {p; −8; q}
в ответ введите числа p и q, разделив их точкой с запятой.

Answer 1

Для того чтобы выяснить, является ли число λ=3 или λ=8 собственным числом матрицы а, мы должны найти такой вектор x, который удовлетворяет условию:

a * x = λ * x

где а - исходная матрица, λ - собственное число, x - собственный вектор.

Для выполнения данной задачи нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите матрицу a-λ * E, где E - единичная матрица размера 3x3, а λ равно 3 или 8 (выполнение этого шага позволяет перейти от операции умножения на матрицу a к операции определителя).

a-λ * E = (3-λ) -8 8
-8 (3-λ) -7
8 11 (3-λ)

Подставьте значение λ в матрица a-λ * E для каждого из λ (λ=3, λ=8):

a-3 * E = 0 -8 8
-8 -13 -7
8 11 5

a-8 * E = -5 -8 8
-8 -18 -7
8 11 0

2. Вычислите определители матриц a-λ * E полученных на предыдущем шаге.

Для λ=3:
det(a-3 * E) = 0*(-13*5)-(-8*(-8*5))+(8*(-8*11))
= 0-(-320)+(-704)
= 320+704
= 1024

Для λ=8:
det(a-8 * E) = (-5*(-18*0))-(-8*11*0)+(8*(-8*11))
= 0-0+(-704)
= -704

3. Теперь найдите решение системы уравнений (a-λ * E) * x = 0 для каждого из λ:
(a-3 * E) * x = 0
(-13*p+5*q) = 0
(-8*p-8*q) = 0
(8*p-8*q) = 0

(a-8 * E) * x = 0
(-18*p) = 0
(-8*p-7*q) = 0
(8*p) = 0

4. Решение системы уравнений (a-λ * E) * x = 0 для каждого из λ дает нам два вектора, которые являются собственными векторами матрицы a, отвечающими собственным числам λ=3 и λ=8.

Для λ=3:
(-13*p+5*q) = 0
(-8*p-8*q) = 0
(8*p-8*q) = 0

Первое уравнение можно переписать следующим образом: p = (5/13)*q
Заменим p во втором и третьем уравнении:
(-8*(5/13)*q-8*q) = 0
(8*(5/13)*q-8*q) = 0

Упростим эти уравнения:
(-40/13*q-8*q) = 0
(40/13*q-8*q) = 0

Из первого уравнения получаем: (-120/13*q) = 0 => q = 0
Подставим q = 0 в первое уравнение: p = (5/13)*0 = 0

Таким образом, собственный вектор матрицы a отвечающий собственному числу λ=3 имеет вид: {0; -8; 0}

Для λ=8:
(-18*p) = 0
(-8*p-7*q) = 0
(8*p) = 0

Из первого уравнения получаем: p = 0
Подставим p = 0 во второе уравнение: (-8*0-7*q) = 0 => q = 0
Подставим p = 0 в третье уравнение: 8*0 = 0

Таким образом, собственный вектор матрицы a отвечающий собственному числу λ=8 имеет вид: {0; -8; 0}

В итоге, задача сводится к нахождению собственных значений и собственных векторов матрицы a:

λ=3 является собственным числом матрицы а
Собственный вектор, отвечающий собственному числу λ=3, равен {0; -8; 0}

λ=8 НЕ является собственным числом матрицы а
Собственный вектор, отвечающий собственному числу λ=8, равен {0; -8; 0}

Таким образом, в ответе введите числа p и q, разделив их точкой с запятой: 0; -8