Элементами множества a являются натуральные числа. известно, что выражение
¬(x ∈ {2,4,8,12,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,6,7,15}) ∨
¬(x ∈ {3,6,7,15}) ∨ (x ∈ a)
истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.
определите наименьшее возможное количество элементов множества a.
1) ¬(x ∈ {2,4,8,12,16}) - это отрицание утверждения, что x принадлежит множеству {2,4,8,12,16}.
То есть x не равно 2, 4, 8, 12 или 16.
2) ¬(x ∈ {3,6,7,15}) - это отрицание утверждения, что x принадлежит множеству {3,6,7,15}.
То есть x не равно 3, 6, 7 или 15.
3) (x ∈ a) - это утверждение, что x принадлежит множеству a.
4) Из условия задачи известно, что выражение истинно при любом значении переменной x.
То есть, любое значение x должно соответствовать этому выражению.
Теперь давайте решим выражение по частям.
1) ¬(x ∈ {2,4,8,12,16}) ∧ ¬(x ∈ {3,6,7,15}) - это конъюнкция отрицания двух условий.
Для того, чтобы конъюнкция была истинна, оба отрицания должны быть истинными.
Таким образом, x не может равняться ни одному из чисел множества {2,4,8,12,16}, а также ни одному из чисел множества {3,6,7,15}.
То есть, x должно принадлежать к множеству a.
2) ¬(x ∈ {3,6,7,15}) ∨ (x ∈ a) - это дизъюнкция отрицания третьего условия и условия, что x принадлежит множеству a.
Для того, чтобы дизъюнкция была истинна, хотя бы одно из условий должно быть истинным.
Таким образом, x не может равняться ни одному из чисел множества {3,6,7,15}, или же x должно принадлежать множеству a.
Исходя из этого, наименьшее возможное количество элементов множества a будет 0.
То есть, множество a не содержит никаких элементов.
Обоснование:
- Множество {2,4,8,12,16} содержит 5 элементов.
- Множество {3,6,7,15} содержит 4 элемента.
- Для того, чтобы оба отрицания в первом выражении были истинными, x должно не равняться ни одному из чисел обоих множеств.
- В таком случае, единственным вариантом для x остается принадлежать множеству a, чтобы дизъюнкция второго выражения была истинной.
- Так как значение x не ограничено и должно удовлетворять всем условиям, множество a не может содержать никаких элементов.
Таким образом, наименьшее возможное количество элементов множества a равно 0.