4. в тетраэдре abcd , где a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) d (-1; 0; 8) найдите
а) cos ∠abc
б) длину медианы am, проведенной из вершины a к стороне bc треугольника abc;
в) площадь треугольника abc;
г) длину высоты cn , опущенной из вершины c на сторону ab треугольника abc;
д) объем тетраэдра abcd ;
е) длину высоты тетраэдра dh , опущенной из вершины d на плоскость (abc) ;
ж) уравнение плоскости (abc) ;
з) уравнение высоты тетраэдра dh , опущенной из вершины d на плоскость abc.
p.s много .
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем векторы ab и ac:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2. Вычислим скалярное произведение векторов ab и ac:
ab·ac = (5)(5) + (-3)(-2) + (3)(0) = 25 + 6 + 0 = 31
3. Также найдем длину векторов ab и ac:
|ab| = sqrt((5)^2 + (-3)^2 + (3)^2) = sqrt(25 + 9 + 9) = sqrt(43)
|ac| = sqrt((5)^2 + (-2)^2 + (0)^2) = sqrt(25 + 4 + 0) = sqrt(29)
4. Находим cos ∠abc:
cos ∠abc = ab·ac / (|ab| * |ac|)
= 31 / (sqrt(43) * sqrt(29))
= 31 / (sqrt(43 * 29))
= 31 / sqrt(1247)
б) Чтобы найти длину медианы am, проведенной из вершины a к стороне bc треугольника abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем середину стороны bc:
Середина стороны bc = ((2 + 2) / 2; (-2 + -1) / 2; (4 + 1) / 2)
= (4 / 2; -3 / 2; 5 / 2)
= (2; -1.5; 2.5)
2. Найдем вектор am:
Вектор am = (2 - (-3); -1.5 - 1; 2.5 - 1)
= (5; -2.5; 1.5)
3. Найдем длину вектора am:
|am| = sqrt((5)^2 + (-2.5)^2 + (1.5)^2)
= sqrt(25 + 6.25 + 2.25)
= sqrt(33.5)
в) Чтобы найти площадь треугольника abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем два вектора, направленных от вершины a к вершинам b и c:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2. Найдем векторное произведение векторов ab и ac:
Векторное произведение ab^ac = (y1z2 - y2z1; z1x2 - z2x1; x1y2 - x2y1)
= (-3 * 0 - (-2) * 3; (-2) * 5 - 3 * 0; 5 * (-3) - (-2) * 5)
= (6; -10; -13)
3. Найдем длину вектора ab^ac:
|ab^ac| = sqrt((6)^2 + (-10)^2 + (-13)^2)
= sqrt(36 + 100 + 169)
= sqrt(305)
4. Найдем площадь треугольника abc:
Площадь треугольника abc = 1/2 * |ab^ac|
= 1/2 * sqrt(305)
г) Чтобы найти длину высоты cn, опущенной из вершины c на сторону ab треугольника abc, нужно знать координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем вектор ab:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
2. Найдем единичный вектор n, перпендикулярный плоскости abc:
Единичный вектор n = ab / |ab| = (5/sqrt(43); -3/sqrt(43); 3/sqrt(43))
3. Для определения длины высоты cn ослабим условие данной задачи и найдем проекцию вектора ac на вектор n. Для этого умножим скалярно вектор ac и вектор n (проекция вектора ac на вектор n):
cos ∠can = ac·n / |ac|
= ((2 - (-3))(5/sqrt(43)) + (-1 - 1)(-3/sqrt(43)) + (1 - 1)(3/sqrt(43))) / sqrt((2 - (-3))^2 + (-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2)
= (10 + 6) / sqrt(43)
= 16 / sqrt(43)
4. Теперь, когда мы знаем cos ∠can, можем найти длину высоты cn, опущенной из вершины c на сторону ab треугольника abc:
Длина высоты cn = cos ∠can * |ac|
= 16 / sqrt(43) * sqrt(29)
= 16 * sqrt(29) / sqrt(43)
д) Чтобы найти объем тетраэдра abcd, нужно знать координаты вершин a, b, c и d.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) и d (-1; 0; 8).
1. Найдем векторы ab, ac и ad:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
Вектор ad = (-1 - (-3); 0 - 1; 8 - 1) = (2; -1; 7)
2. Найдем объем тетраэдра abcd:
Объем тетраэдра abcd = 1/6 * |(ab × ac) · ad|
= 1/6 * |((5; -3; 3) × (5; -2; 0)) · (2; -1; 7)| (векторное произведение)
= 1/6 * |(9; 15; -15) · (2; -1; 7)| (вычисление векторного произведения)
= 1/6 * (9 * 2 + 15 * (-1) + (-15) * 7) (вычисление скалярного произведения)
= 1/6 * (18 - 15 - 105)
= -1/2 * (34)
= -17
Объем тетраэдра abcd равен -17.
е) Чтобы найти длину высоты тетраэдра dh, опущенной из вершины d на плоскость (abc), нужно знать координаты вершин a, b, c и d.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) и d (-1; 0; 8).
1. Найдем векторы ab и ac:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2. Найдем векторную нормаль плоскости (abc), вычислив векторное произведение векторов ab и ac:
Векторное произведение ab^ac = (y1z2 - y2z1; z1x2 - z2x1; x1y2 - x2y1)
= (-3 * 0 - (-2) * 3; (-2) * 5 - 3 * 0; 5 * (-3) - (-2) * 5)
= (6; -10; -13)
3. Пусть точка h (x; y; z) - плоскость abc пересекает линию dh. Тогда h лежит на плоскости (abc) и прямой dh, и вектор dh будет касательным к плоскости (abc) в точке h.
Следовательно, вектор dh будет перпендикулярен вектору ab^ac, поэтому мы можем использовать его в качестве вектора нормали к плоскости dh.
4. Вектор dh будет иметь ту же направляющую прямую, что и ab^ac, но начнется из точки d (-1; 0; 8).
Тогда вектор dh будет равен ab^ac с началом в точке d:
Вектор dh = (6; -10; -13) + (-1; 0; 8) = (5; -10; -5)
5. Найдем длину вектора dh:
|dh| = sqrt((5)^2 + (-10)^2 + (-5)^2)
= sqrt(25 + 100 + 25)
= sqrt(150)
= 5 * sqrt(6)
ж) Уравнение плоскости (abc) можно найти, зная координаты вершин a, b и c тетраэдра.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4) и c (2; -1; 1).
1. Найдем два вектора, направленных от вершины a к вершинам b и c:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2. Найдем векторное произведение векторов ab и ac:
Векторное произведение ab^ac = (y1z2 - y2z1; z1x2 - z2x1; x1y2 - x2y1)
= (-3 * 0 - (-2) * 3; (-2) * 5 - 3 * 0; 5 * (-3) - (-2) * 5)
= (6; -10; -13)
3. Запишем уравнение плоскости (abc):
6(x - (-3)) - 10(y - 1) - 13(z - 1) = 0
6(x + 3) - 10(y - 1) - 13(z - 1) = 0
6x + 18 - 10y + 10 - 13z + 13 = 0
6x - 10y - 13z + 41 = 0
Уравнение плоскости (abc) имеет вид: 6x - 10y - 13z + 41 = 0.
з) Уравнение высоты тетраэдра dh, опущенной из вершины d на плоскость abc, можно найти, зная координаты вершин a, b, c и d.
В данном случае у нас вершины a (-3; 1; 1), b (2; -2; 4), c (2; -1; 1) и d (-1; 0; 8).
1. Найдем два вектора, направленных от вершины a к вершинам b и c:
Вектор ab = (2 - (-3); -2 - 1; 4 - 1) = (5; -3; 3)
Вектор ac = (2 - (-3); -1 - 1; 1 - 1) = (5; -2; 0)
2. Найдем векторное произведение векторов ab и ac:
Векторное произведение ab^ac = (y1z2 - y2z1; z1x2 - z2x1; x1y2 - x2y1)
= (-3 * 0 - (-2) * 3; (-2) * 5 - 3 * 0; 5 * (-3) - (-2) * 5)
= (6; -10; -13)
3. Запишем уравнение высоты тетраэдра dh:
Уравнение прямой dh будет иметь вид:
x = -1 + 5t
y = 0 - 10t
z = 8 - 13t
Уравнение высоты тетраэдра dh имеет вид:
x = -1 + 5t
y = -10t
z = 8 - 13t
где t - параметр, пробегающий действительные числа.
Это все ответы на вопросы. Если у тебя есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, буду рад помочь!