Question

Найдите наименьшее натуральное четырехзначное число n, что десятичная запись числа n2+4n оканчивалась всеми цифрами числа n

Answer 1

Если $n^{2}+4n$ оканчивается числом n, то число $(n^{2}+4n)-n=n^{2}+3n$ оканчивается на четыре нуля, т.е. делится на 10⁴;

Итак, $10^{4}=2^{4}5^{4}\;|\;n(n+3)$; Теперь степени двойки и пятерки нам нужно раскидать между числами n и n+3; Заметим, что n и n+3 разной четности. Поэтому ровно одно из чисел делится на 2⁴; Поскольку разница чисел равна 3, то оба не могут одновременно делится на 5. То есть ровно одно из чисел делится на 5⁴. Если n делится одновременно на 2⁴ и 5⁴, то оно по крайней мере 10000, но мы рассматриваем четырехзначные числа. Пусть n+3 делится на 2⁴ и 5⁴. Тогда единственное удовлетворяющее условию значение n есть 9997. Запомним.

Пусть теперь n делится на 2⁴, а n+3 на 5⁴. Тогда $n=16k$; Осталось найти наименьшее натуральное такое k, что $16k+3\; \vdots 625$. Небольшим перебором (по кратным 625) убеждаемся, что 625*3-3 делится на 16, а, значит, наименьшее такое k это 117. Тогда $n=16\times 117=1872$;

И последний случай. Пусть n делится на 5⁴, а n+3 на 2⁴. Тогда n нечетно. $n=625k$; $625k+3\;\vdots\;16$. Наименьшее k тогда 13. $n=13\times625=8125$. Наименьшее число - 1872

ответ: 1872