Чтобы найти пары квадратных трехчленов, у которых корни второго трехчлена - числа а и (и только они), а корни первого трехчлена - числа d и (и только они), нужно воспользоваться следующими свойствами квадратных трехчленов:
1. Если трехчлен имеет корень a, то он делится на (x - a). В данном случае второй трехчлен имеет корни а и (и только они), значит он делится на (x - a) и (x - а).
2. Если трехчлен делится на (x - a) и (x - b), то он имеет корни a и b. В данном случае второй трехчлен имеет корни а и (и только они), значит он делится на (x - a) и (x - а), а следовательно, он имеет корни a и a.
Теперь рассмотрим пошаговое решение задачи:
1. Предположим, что первый квадратный трехчлен равен х^2 + px + q (где p и q - некие числа).
2. Разложим второй трехчлен (x - a)(x - a) = x^2 - 2ax + a^2
3. Умножим первый квадратный трехчлен на (x - a)(x - a):
По условию задачи, коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих трехчленах должны быть равны. Значит, мы получаем систему уравнений:
p - 2a = 0 (1)
a^2 + pq - 2ap - h = 0 (2)
a^2p - 2aq - i = 0 (3)
a^2q - j = 0 (4)
6. Решаем систему уравнений (1)-(4) относительно переменных p, q, h, i и j. Подставив значения для переменной a из уравнения (1), получим систему:
p = 2a
a^2 + 2a*q - 4a^2 - h = 0
a^2*2a - 2a*2a - i = 0
a^2*(2a*q - 2a) - j = 0
Упрощая полученные уравнения, получаем:
p = 2a
q = 2a
h = 3a^2
i = 0
j = 0
7. Подставляем значения переменных p, q, h, i и j в первый квадратный трехчлен:
х^2 + 2ax + 2a
8. Подставляем значения переменных p, q, h, i и j во второй квадратный трехчлен:
x^2 - 4ax + 4a^2
Таким образом, все пары квадратных трехчленов х + ax+b + cx+ d, у которых корни второго трехчлена - числа а и (и только они), а корни первого трехчлена - числа d и (и только они), представлены формулами:
Первый трехчлен: х^2 + 2ax + 2a
Второй трехчлен: x^2 - 4ax + 4a^2
1. Если трехчлен имеет корень a, то он делится на (x - a). В данном случае второй трехчлен имеет корни а и (и только они), значит он делится на (x - a) и (x - а).
2. Если трехчлен делится на (x - a) и (x - b), то он имеет корни a и b. В данном случае второй трехчлен имеет корни а и (и только они), значит он делится на (x - a) и (x - а), а следовательно, он имеет корни a и a.
Теперь рассмотрим пошаговое решение задачи:
1. Предположим, что первый квадратный трехчлен равен х^2 + px + q (где p и q - некие числа).
2. Разложим второй трехчлен (x - a)(x - a) = x^2 - 2ax + a^2
3. Умножим первый квадратный трехчлен на (x - a)(x - a):
(х^2 + px + q)(x - a)(x - a) = (x^2 + px + q)(x^2 - 2ax + a^2)
4. Раскроем скобки:
(х^2 + px + q)(x^2 - 2ax + a^2) = х^2(x^2 - 2ax + a^2) + px(x^2 - 2ax + a^2) + q(x^2 - 2ax + a^2)
= x^4 - 2ax^3 + a^2x^2 + px^3 - 2apx^2 + a^2px + qx^2 - 2aqx + a^2q
= x^4 + (p - 2a)x^3 + (a^2 + pq - 2ap)x^2 + (a^2p - 2aq)x + a^2q
5. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x у обоих трехчленов и решим полученные уравнения для переменных p и q:
x^4 + (p - 2a)x^3 + (a^2 + pq - 2ap)x^2 + (a^2p - 2aq)x + a^2q = hx^2 + ix + j
x^4 + (p - 2a)x^3 + (a^2 + pq - 2ap - h)x^2 + (a^2p - 2aq - i)x + a^2q - j = 0
По условию задачи, коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих трехчленах должны быть равны. Значит, мы получаем систему уравнений:
p - 2a = 0 (1)
a^2 + pq - 2ap - h = 0 (2)
a^2p - 2aq - i = 0 (3)
a^2q - j = 0 (4)
6. Решаем систему уравнений (1)-(4) относительно переменных p, q, h, i и j. Подставив значения для переменной a из уравнения (1), получим систему:
p = 2a
a^2 + 2a*q - 4a^2 - h = 0
a^2*2a - 2a*2a - i = 0
a^2*(2a*q - 2a) - j = 0
Упрощая полученные уравнения, получаем:
p = 2a
q = 2a
h = 3a^2
i = 0
j = 0
7. Подставляем значения переменных p, q, h, i и j в первый квадратный трехчлен:
х^2 + 2ax + 2a
8. Подставляем значения переменных p, q, h, i и j во второй квадратный трехчлен:
x^2 - 4ax + 4a^2
Таким образом, все пары квадратных трехчленов х + ax+b + cx+ d, у которых корни второго трехчлена - числа а и (и только они), а корни первого трехчлена - числа d и (и только они), представлены формулами:
Первый трехчлен: х^2 + 2ax + 2a
Второй трехчлен: x^2 - 4ax + 4a^2