128
Пошаговое объяснение:
Остановимся на этом моменте:
n(n+1)/2=64k
n(n+1)=128k
Заметим, что среди чисел n и n+1 ровно одно четное и одно нечетное! (так как они идут по порядку).
Также 128=2⁷
Это значит, что 128 делится только числа, кратные 2-м (2, 4, 8, 16 и т.д), то есть делится только на четные числа!
Нечетное число никогда нацело не поделится на четное.
Таким образом произведение n(n+1) поделится на 128 только в том случае, если один из множителей будет делится на 128.
То есть n может равняться 128, 256, 512 и т.д
Наименьшее чётное: n=128
9801
Пошаговое объяснение:
Последняя цифра любого такого числа 1 или 3, в противном случае даже удвоенное "перевернутое" число имело бы на одну цифру больше, чем исходное, а значит, не могло бы быть делителем.
Последняя цифра 3: тогда исходное число это "перевернутое", умноженное на 3 (на 1 и 2 умножать нельзя в соответствии с условием, на 4 и больше - нельзя, так как произведение будет слишком большим). ...3 = 3 * 3...1, других вариантов нет. Тогда исходное число имеет вид 1...3, но такое число слишком мало, 1...3 : 3 имеет меньше цифр, чем исходное число. Значит, чисел вида ...3, удовлетворяющих условию, нет.Последняя цифра 1: так может получиться в случаях 1...7 * 3, 1...3 * 7, 1...9 * 9. Последовательно рассматриваем случаи:Произведение меньше 200... * 3 = 6..., первая цифра не 7, не подходит. Первая цифра произведения 7 или больше, а не 3, не подходит.Пусть так, но уже 11...9 имеет слишком много цифр. Значит, 10...9 * 9 = 9...01. Подбором находим, что на место ... нужно поставить хотя бы 8, меньше не получается.
Пусть R2 - степень инверсии. Тогда OA · OA* = OB · OB* = R2, откуда OA : OB = OB* : OA* и DOAB ~ DOB*A*, поскольку РAOB = РB*OA*.