Пусть мы красим в белый и черные цвета. Заметим, что в любой правильной раскраске должно быть поровну обоих цветов. Иначе в каком-нибудь квадрате 2x2 найдется три клетки одного цвета, что невозможно. Теперь будем по порядку рассматривать квадраты 2x2. Пусть изначально прямоугольника покрашен в шахматную расцветку. Для того, чтобы получать новую раскраску будем двигать черные (без ограничения общности - двигая черные мы, грубо говоря, двигаем и белые) клетки (в квадратах, двигаясь слева направо), причем так, чтобы не возникало уголков. Действительно, если они будут возникать, то их придется устранять и тем самым создавать их в квадратах, расположенных правее и в конце концов упремся. Таким образом, для первого квадрата существует три движения (включая тождественную перестановку). Для второго квадрата существует два варианта - если мы двигали черную клетку, стоящую в пересечении первого и второго квадратов, то движений 2, если нет - то три. Итак, можно построить дерево (см. рис.). При переходе по стрелке мы умножаем числа, стоящие в вершинах. В конце концов, числа до которых нельзя добраться, складываем. Итог - кол-во Докажем по индукции, что искомое количество равно 
, где n - номер уровня (ступени).
База очевидна: при n=1 результат 3, что верно.
Переход: пусть для некоторого n=k верно. Докажем, что верно и для n=k+1. Рассмотрим k+1-ый уровень. Количество троек равно количеству двоек. Поэтому каждое слагаемое, входящее в сумму, которая равна 
можно умножить сначала на тройки, а потом на двойки, что равнозначно 
, переход доказан.
Не забудем итоговый ответ также домножить на два, так как существует две различные шахматные расцветки прямоугольника.
Имеем 
квадратов, а, стало быть, уровней. 
;
ответ: 
1) Даны векторы
a b
x y z x y z Модуль a = √(0² + 3² + (-4)²) = √25 = 5.
0 3 -4 8 6 -2 Модуль b = √(8² + 6² + (-2)²) = √104 = 2√26.
cos(a_b) = (0*8 + 3*6 + (-4)*(-2))/(5*√26) = 26/(5√26) = √26/10 ≈ 0,5099.
2) Точка А Точка В Точка С
x y z x y z x y z
2 -2 7 -5 0 1 3 -3 2.
Находим векторы.
AB(-7; 2; -6), BC(8; -3; 1), AC(1; -1; -5).
|AB| = √(49+4+36) = √89.
|BC| = √(64+9+25) = √95.
|AC| = √(1+1+25) = √27.
АВ х АС
cos A = 21
49,0204 = 0,42839
Угол А = 1,1281 радиан или 64,6344 градуса.
ВА х ВС
cos B = 68
81,1542 = 0,837911304
Угол В = 0,5774 радиан или 33,0798 градуса.
СВ х СА
cos C= 6
44,699 = 0,13423.
Угол С = 1,43616 радиан или 82,2858 градуса.
3) Точка А Точка В Точка С
x y z x y z x y z
1 -5 7 -2 8 -3 5 -2 2.
Вектор АВ
x y z
-3 13 -10
Модуль (длина) √278 ≈ 16,6733,
Вектор АС
x y z
4 3 -5
Модуль (длина) √50 ≈ 7,07107.
Площадь равна половине модуля векторного произведения АВ на АС.
i j k | i j
-3 13 -10 | -3 13
4 3 -5 | 4 3 = -65i - 40j - 9k - 15j + 30i - 52k =
= -35i - 55j - 61k.
Модуль равен √((-35)² + (-55)² + (-61)²) = √(1225 + 3025 + 3721) =
= √7971 ≈ 89,28.
S = (1/2)*√7971 ≈ 44,64.
4) Вектор a Вектор b
х у z х у z
3 8 -1 -2 3 1
Векторное произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
Подставив данные, получаем x y z
11 -1 25.