Такая: в продукции завода брак вследствие дефекта a составляет 3%, а вследствие дефекта b - 4,5%. годная продукция составляет 95%. найти коэффициент корреляции дефектов a и b. указание. ввести в рассмотрение случайную величину x=1, если данное изделие обладает дефектом a, и x=0 в противном случае. аналогично y=1; 0 в зависимости от того, обладает или нет это изделие дефектом b.
Коэффициент корреляции можно вычислить следующим образом:
r = (cov(x, y))/(σx * σy),
где cov(x, y) - ковариация между x и y, σx и σy - стандартные отклонения x и y соответственно.
Давайте введем случайную величину z = a + b, которая будет равна 1, если изделие обладает обоими дефектами (a и b), и 0 - в противном случае.
Теперь нам нужно найти ковариацию между x и y. Для этого воспользуемся следующей формулой:
cov(x, y) = E[(x - E[x])(y - E[y])],
где E[x] и E[y] - математические ожидания для x и y соответственно.
В нашем случае математические ожидания можно найти следующим образом:
E[x] = P(x = 1) = 3% = 0.03,
E[y] = P(y = 1) = 4.5% = 0.045.
Теперь вычислим ковариацию:
cov(x, y) = (0 * 0.045 + 1 * 0.03 - 0.03 * 0.045) = 0.03 - 0.00135 = 0.02865.
Теперь нам нужно найти стандартные отклонения для x и y.
Для нахождения σx и σy воспользуемся следующей формулой:
σx = sqrt(E[x^2] - E[x]^2),
σy = sqrt(E[y^2] - E[y]^2).
В нашем случае:
E[x^2] = 0^2 * (1 - 0.03) + 1^2 * 0.03 = 0.03,
E[y^2] = 0^2 * (1 - 0.045) + 1^2 * 0.045 = 0.045.
Теперь вычислим стандартные отклонения:
σx = sqrt(0.03 - 0.03^2) = sqrt(0.03 - 0.0009) = sqrt(0.0291) ≈ 0.1707,
σy = sqrt(0.045 - 0.045^2) = sqrt(0.045 - 0.002025) = sqrt(0.042975) ≈ 0.2073.
Теперь, используя все найденные значения, мы можем найти коэффициент корреляции:
r = cov(x, y)/(σx * σy) = 0.02865/(0.1707 * 0.2073) ≈ 0.7894.
Таким образом, коэффициент корреляции между дефектами a и b составляет примерно 0.7894.