Question

Найти угол между прямой x-1/2=y+5/-1=z-3/5, и плоскостью x+2y+3z+8=0

Answer 1

Добрый день! Я буду играть роль школьного учителя и помогу вам решить ваш вопрос.

Нам нужно найти угол между прямой и плоскостью. Для начала, давайте выразим уравнение прямой в параметрической форме.

Уравнение прямой задано следующим образом: x-1/2=y+5/-1=z-3/5. Давайте приведем его к более удобному виду.

x - 1/2 = -y - 5 = z - 3/5

Мы можем записать это уравнение в виде:

x = 1/2 - y
y = -5
z = 3/5 - z

Теперь у нас есть параметрическое уравнение прямой:

x = 1/2 - t
y = -5
z = 3/5 - t

Теперь давайте подставим эти выражения в уравнение плоскости x + 2y + 3z + 8 = 0 и найдем значение параметра t.

(1/2 - t) + 2(-5) + 3(3/5 - t) + 8 = 0

Упростив уравнение, мы получим:

1/2 - t - 10 + 9/5 - 3t + 8 = 0

Объединяя подобные элементы, мы получим:

-5t - 1/2 + 9/5 + 8 - 10 = 0

-5t - 1/2 + 9/5 - 2 = 0

Общий знаменатель равен 10, поэтому:

-5t - 5/10 + 18/10 - 20/10 = 0

И чистым, мы получаем:

-5t - 7/10 = 0

Избавимся от отрицательного коэффициента:

5t + 7/10 = 0

Теперь избавимся от дробей:

50t + 7 = 0

50t = -7

t = -7/50

Теперь, когда у нас есть значение параметра t, мы можем найти координаты точки M на прямой.

x = 1/2 - (-7/50) = 1/2 + 7/50 = 25/50 + 7/50 = 32/50 = 16/25
y = -5
z = 3/5 - (-7/50) = 3/5 + 7/50 = 30/50 + 7/50 = 37/50

Тогда координаты точки M равны (16/25, -5, 37/50).

Теперь нам нужно найти вектор нормали плоскости. Воспользуемся коэффициентами при x, y и z в уравнении плоскости x+2y+3z+8=0.

Вектор нормали плоскости A(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3).

Теперь, когда у нас есть точка на прямой M(16/25, -5, 37/50) и вектор нормали плоскости A(1, 2, 3), мы можем использовать формулу для вычисления угла между векторами:

cos(theta) = (A · M) / (||A|| * ||M||),

где A · M - скалярное произведение векторов A и M,
||A|| - длина вектора A,
||M|| - длина вектора M.

Сначала найдем скалярное произведение A · M:

A · M = (1 * 16/25) + (2 * -5) + (3 * 37/50)
= 16/25 - 10 + 111/50
= 32/50 - 50/50 + 111/50
= 93/50

Теперь найдем длину векторов A и M:

||A|| = √(1^2 + 2^2 + 3^2) = √(1 + 4 + 9) = √14

||M|| = √((16/25)^2 + (-5)^2 + (37/50)^2) = √(256/625 + 25 + 1369/2500)
= √(512/1250 + 6250/1250 + 1369/2500)
= √(7107/1250) = √(56856/10000) = √(14214/2500)

Теперь подставим все значения в формулу для нахождения cos(theta):

cos(theta) = (93/50) / (√14 * √(14214/2500))
= (93/50) / (√(14 * 14214/2500))
= (93/50) / (√(99696/2500))
= (93/50) / (√(39.8784))
= (93/50) / (6.316)
≈ 0.294

Теперь нам нужно найти сам угол theta. Можно использовать обратную функцию косинуса (arccos):

theta = arccos(0.294)
≈ 73.84°

Таким образом, угол между прямой x-1/2=y+5/-1=z-3/5 и плоскостью x+2y+3z+8=0 примерно равен 73.84°.