Question

Решите уравнение в целых числах х^2=3y^2+10

Answer 1

Рассмотрим два случая:        

1). $y$ четно.

Представим число $y$ в виде $2n$. Понятно, что сумма четного числа и еще одного четного - четная. Поэтому $x$ - тоже четное. Заменим его на $2m$. Подставляем:

$(2m)^2=3(2n)^2+10\\4m^2=12n^2+10\\4m^2-12n^2=10\\4 (m^2-3n^2) =10$

Но это противоречие! $10$ на $4$ нацело не делится.

2). $y$ нечетно.

Пусть $y=2n+1$, а $x$ - нечетное - это $2m+1$. Подставим:

$(2m+1)^2=3(2n+1)^2+10\\4m^2+4m+1=12n^2+12n+3+10\\4m^2+4m=12n^2+12n+12$

Теперь видно, что $m$ делится на $3$. Сделаем замену $m=3k$:

$4(3k)^2+4(3k)=12n^2+12n+12\\12k^2+12k=12n^2+12n+12\\k^2+k=n^2+n+1\\k(k+1)=n(n+1)+1\\k(k+1)-n(n+1)=1$

Ясно, что каждое из чисел $n(n+1)$ и $k(k+1)$ - четное (так как это произведение двух последовательных чисел). И у нас получается, что разность двух четных чисел - число нечетное ($1$), что весьма странно.

Получаем, что корней у уравнения нет.

  ответ: ∅ .