Question

Нужно решить дифференциальное уравнение. любая буква(желательно две)) во втором номере кроме а).

Answer 1

$1)\; \; y'=4x(y+5)^2\\\\\int \frac{dy}{(y+5)^2}=\int 4x\, dx\\\\\frac{(y+5)^{-1}}{-1}=4\cdot \frac{x^2}{2}+C\; \; ,\; \; -\frac{1}{y+5}=2x^2+C\; \; ,\; \; y+5=-\frac{1}{2x^2+C}\\\\y=-\frac{1}{2x^2+C}-5\\\\\\2)\; \; 2y'-y=e^{x}\; \; ,\; \; \; y'-\frac{y}{2}=\frac{1}{2}e^{x}\\\\y=uv\; \; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-\frac{1}{2}\, uv=\frac{1}{2}\, e^{x}\\\\u'v+u\, (v'-\frac{v}{2})=\frac{1}{2}\, e^{x}\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}=\frac{v}{2}\; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int \frac{dx}{2}\; \; ,\; \; ln|v|=\frac{x}{2}\; \; ,\; \; v=e^{\frac{x}{2}}$

$b)\; \; u'v=\frac{1}{2}\, e^{x}\; \; ,\; \; \frac{du}{dx}\cdot e^{\frac{x}{2}}=\frac{e^{x}}{2}\; \; ,\; \; \int du=\frac{1}{2}\int e^{\frac{x}{2}}\, dx\\\\u=e^{\frac{x}{2}}+C\\\\c)\; \; y=uv=e^{\frac{x}{2}}\cdot (e^{\frac{x}{2}}+C)=e^{x}+C\cdot e^{\frac{x}{2}}$

$3)\; \; y''=4x^3-5\; \; ,\; \; y(1)=2\; ,\; y'(1)=8\\\\y'=\int (4x^3-5)dx\; \; ,\; \; y'=x^4-5x+C_1\\\\y=\int (x^4-5x+C_1)\, dx\\\\y=\frac{x^5}{5}-\frac{5x^2}{2}+C_1x+C_2\\\\y(1)=2:\; \; 2=\frac{1}{5}-\frac{5}{2}+C_1+C_2\; \; ,\; \; C_1+C_2=4,3\\\\y'(1)=8:\; \; 8=1-5+C_1\; \; ,\; \; C_1=12\; \; \Rightarrow \; \; C_2=4,3-C_1=-7,7\\\\y_{chastnoe}=\frac{x^5}{5}-\frac{5x^2}{2}+4,3x-7,7$