Дан прямоугольник, состоящий из 9х5 клеток. сколькими можно проложить путь из левого нижнего угла в правый верхний, если разрешается двигаться только вверх и вправо?
Для левой части ур-ия применим формулу суммы синусов: Sin x + Sin y = 2Sin ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2) А для правой части формулы понижения степени: Cos² x = (1 + Cos 2x) / 2 Sin² x = (1 - Cos 2x) / 2
То есть: 2Sin 4x · Cos x = 2 · ((1 + Cos 4x)/2 - (1 - Cos 6x)/2))
2Sin 4x · Cos x = 1 + Cos 4x - 1 + Cos 6x
2Sin 4x · Cos x = Cos 4x + Cos 6x
Для правой части ур-ия применим формулу суммы косинусов: Cos x + Cos y = 2Cos ((x + y)/2) · Cos ((x - y)/2)
2Sin 4x · Cos x = 2Cos 5x * Cos x
2Sin 4x · Cos x - 2Cos 5x * Cos x = 0
Выносим общий множитель 2Cos x: 2Cos x · (Sin 4x - Cos 5x) = 0
Отсюда: Cos x = 0 ⇒ x = ±π/2 + 2πk, k — целое
Sin 4x - Cos 5x = 0
Cos (π/2 - 4x) - Cos (5x) = 0
Применяем формулу разности косинусов: Cos x - Cos y = -2Sin ((x + y)/2) · Sin ((x - y)/2)
То есть: -2Sin ((π/2 + x)/2) · Sin ((π/2 - 9x)/2) = 0
1) Sin ((π/2 + x)/2) = 0 (π/2 + x)/2 = πk π/2 + x = 2πk x = -π/2 + 2πk
Алтын көз китүгә, таягына таянып, ап-ак сакаллы кыш кунакка килде. Ул акрын гына җир өстенә күбәләк-күбәләк кар яудырырга кереште. Кар бөртекләре, жемелдәшеп, берсе белән берсе уйнап, җир-анага коелдылар. Озакламый җир өсте ап-ак юрган ябынды. Кыш үзенең ак келәмен җәйде. Елгалар, күлләр өсте көзге кебек шома боз белән капланды. Зифа каеннар кар кызларыдай басып торалар.
Узган җәйнең табигый уңайсызлыкларыннан тәмам аптырап алҗыган урман-кырлар, хәзергә барысы да тукталып торып, киләсе елда эшне яңа көч белән һәм яңача башлап җибәрү өчен ак юрганга төренеп, тирән йокыга талган. Тик песнәкләрнең агач очыннан килеп җитәр-җитмәс нәзек авазлары һәм урман гайбәтчесе — саесканның, юк хәбәрне бар итеп, агачтан агачка сикергәләп, чыркылдап йөрүе генә кышкы урманга бераз җанлылык өрә. Матур кышкы кунакларыбыз — кызылтүшләр инде октябрь ахырында ук килеп җиткәннәр иде. Безнең кышкы урманнар, бакчалар бу матур кошлардан башка бик ямансу булыр иде.
Көзге яңгыр көннәрендә, затлы каурыйларын чылатудан куркып, агач куышында ачлы-туклы гомер уздырган зур чуар тукран, кышкы салкын көннәр урнашкач, һәр көн иртүк торып эшкә тотына: «Тук-тук-тук».
Урман-кырлар өстендә кышкы тантаналы тынлык. Тик басу-кырлар өстеннән туктаусыз агылып торган җәяүле буран гына һәр төбәктә кышкы кырыс тәртипләрнең ныклыгын күзәтеп, барлап йөри. Көннән-көн соңарып чыккан кояш, бераз вакыт салкынча елмаеп, урман-кырларны биләп алган кышкы күренешләргә күз ташлый да, күңелгә ятышсыз вакыйгалардан тизрәк читләшергә ашыккандай, яңадан офыкка таба тәгәри башлый һәм тиздән урман артына төшеп югала.
Тыныч еллар, уңышлы һәм бәхетле еллар килсен! Төкле аякларың белән түрдән уз кыш!