Привет! Очень рад выступить в роли твоего школьного учителя и помочь тебе разобраться с этим вопросом.
Чтобы найти объем вращения фигуры вокруг оси ох, мы можем использовать метод цилиндров разрезов. Для начала, нам потребуется найти точки пересечения кривых y=x^2+2 и y=2x+2.
Для этого, мы приравняем уравнения:
x^2+2 = 2x+2.
После приведения подобных членов получим:
x^2 - 2x = 0.
Теперь факторизуем это уравнение:
x(x-2) = 0.
Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 2.
Теперь мы можем построить график нашей фигуры и линии вращения вокруг оси ох.
Теперь, чтобы вычислить объем вращения фигуры, мы разделим ее на множество цилиндров разрезов. Каждый цилиндр разреза будет иметь радиус, равный значению x, и высоту, равную разности соответствующих y-значений кривых y=x^2+2 и y=2x+2.
Обозначим радиус цилиндра разреза как r(x) = x, и высоту как h(x) = (x^2+2) - (2x+2) = x^2 - 2x.
Теперь можем записать формулу для объема каждого цилиндра разреза:
V(x) = π * (r(x))^2 * h(x).
Подставим значения радиуса и высоты в эту формулу:
V(x) = π * x^2 * (x^2 - 2x).
Теперь нам нужно проинтегрировать это выражение по всем значениям x, где фигура ограничена. У нас есть два среза: x=0 и x=2.
Итак, для вычисления объема вращения фигуры вокруг оси ох, мы можем использовать следующую формулу:
V = ∫[0, 2] (π * x^2 * (x^2 - 2x)) dx.
Для упрощения этого выражения, мы можем выполнить произведение в скобках:
V = ∫[0, 2] (π * (x^4 - 2x^3)) dx.
Теперь проинтегрируем это выражение:
V = π * (∫[0, 2] (x^4 - 2x^3) dx).
Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:
V = π * (1/5 * x^5 - 1/2 * x^4) |[0, 2].
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
Чтобы найти объем вращения фигуры вокруг оси ох, мы можем использовать метод цилиндров разрезов. Для начала, нам потребуется найти точки пересечения кривых y=x^2+2 и y=2x+2.
Для этого, мы приравняем уравнения:
x^2+2 = 2x+2.
После приведения подобных членов получим:
x^2 - 2x = 0.
Теперь факторизуем это уравнение:
x(x-2) = 0.
Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 2.
Теперь мы можем построить график нашей фигуры и линии вращения вокруг оси ох.
*
|
|
| *
|
|
------------------------------------
Теперь, чтобы вычислить объем вращения фигуры, мы разделим ее на множество цилиндров разрезов. Каждый цилиндр разреза будет иметь радиус, равный значению x, и высоту, равную разности соответствующих y-значений кривых y=x^2+2 и y=2x+2.
Обозначим радиус цилиндра разреза как r(x) = x, и высоту как h(x) = (x^2+2) - (2x+2) = x^2 - 2x.
Теперь можем записать формулу для объема каждого цилиндра разреза:
V(x) = π * (r(x))^2 * h(x).
Подставим значения радиуса и высоты в эту формулу:
V(x) = π * x^2 * (x^2 - 2x).
Теперь нам нужно проинтегрировать это выражение по всем значениям x, где фигура ограничена. У нас есть два среза: x=0 и x=2.
Итак, для вычисления объема вращения фигуры вокруг оси ох, мы можем использовать следующую формулу:
V = ∫[0, 2] (π * x^2 * (x^2 - 2x)) dx.
Для упрощения этого выражения, мы можем выполнить произведение в скобках:
V = ∫[0, 2] (π * (x^4 - 2x^3)) dx.
Теперь проинтегрируем это выражение:
V = π * (∫[0, 2] (x^4 - 2x^3) dx).
Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:
V = π * (1/5 * x^5 - 1/2 * x^4) |[0, 2].
Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:
V = π * (1/5 * (2)^5 - 1/2 * (2)^4) - (1/5 * (0)^5 - 1/2 * (0)^4).
Вычислим это выражение:
V = π * (1/5 * 32 - 1/2 * 16) - (1/5 * 0 - 1/2 * 0).
V = π * (32/5 - 8) - (0 - 0).
V = π * (32/5 - 40/5).
V = π * (-8/5).
Таким образом, объем вращения фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2 и y=2x+2, вокруг оси ох равен -8π/5.
Надеюсь, это объяснение было достаточно подробным и понятным. Если у тебя остались вопросы, не стесняйся задавать их!