Question

Найти значение матричного многочлена f(a)
f(x)=3x³+x²+2,
a= 1 5
0 -3

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с этим вопросом пошагово.

У нас дан матричный многочлен f(x) = 3x³ + x² + 2 и матрица а = {{1, 5}, {0, -3}}.
Мы должны найти значение матричного многочлена f(a).

1. Сначала замените переменную x в матричном многочлене на матрицу a:
f(a) = 3a³ + a² + 2.

2. Теперь возведем матрицу a в степень 3:
a³ = a * a * a.

Для того чтобы умножить матрицы, нужно умножить соответствующие элементы матриц по определенным правилам.

a * a = {{1, 5}, {0, -3}} * {{1, 5}, {0, -3}} = {{1*1 + 5*0, 1*5 + 5*(-3)}, {0*1 + (-3)*0, 0*5 + (-3)*(-3)}}
= {{1 + 0, 5 - 15}, {0 + 0, 0 + 9}}
= {{1, -10}, {0, 9}}.

Теперь умножим получившуюся матрицу на матрицу a еще один раз:

a * a * a = {{1, 5}, {0, -3}} * {{1, -10}, {0, 9}} = {{1*1 + 5*0, 1*(-10) + 5*9}, {0*1 + (-3)*0, 0*(-10) + (-3)*9}}
= {{1 + 0, -10 + 45}, {0 + 0, 0 + (-27)}}
= {{1, 35}, {0, -27}}.

Таким образом, получаем, что a³ = {{1, 35}, {0, -27}}.

3. Теперь заменим a³ в нашем матричном многочлене f(a):
f(a) = 3a³ + a² + 2 = 3{{1, 35}, {0, -27}} + {{1, 5}, {0, -3}}² + 2.

4. Возводим матрицу {{1, 5}, {0, -3}} в квадрат:
{{1, 5}, {0, -3}}² = {{1, 5}, {0, -3}} * {{1, 5}, {0, -3}}.

Аналогично как мы делали ранее, умножим соответствующие элементы матриц:

{{1, 5}, {0, -3}} * {{1, 5}, {0, -3}} = {{1*1 + 5*0, 1*5 + 5*(-3)}, {0*1 + (-3)*0, 0*5 + (-3)*(-3)}}
= {{1 + 0, 5 - 15}, {0 + 0, 0 + 9}}
= {{1, -10}, {0, 9}}.

Таким образом, получаем, что {{1, 5}, {0, -3}}² = {{1, -10}, {0, 9}}.

5. Теперь заменим в матричном многочлене f(a) значение a³ и {{1, 5}, {0, -3}}²:
f(a) = 3{{1, 35}, {0, -27}} + {{1, -10}, {0, 9}} + 2.

6. Выполним нужные операции с матрицами:
3{{1, 35}, {0, -27}} = {{3*1, 3*35}, {3*0, 3*(-27)}} = {{3, 105}, {0, -81}},
{{1, -10}, {0, 9}} + 2 = {{1+2, -10+2}, {0+2, 9+2}} = {{3, -8}, {2, 11}}.

7. Теперь сложим получившиеся матрицы:
f(a) = {{3, 105}, {0, -81}} + {{3, -8}, {2, 11}} = {{3+3, 105+(-8)}, {0+2, -81+11}}
= {{6, 97}, {2, -70}}.

Таким образом, значение матричного многочлена f(a) = {{6, 97}, {2, -70}}.