Question

Решите неравенство:
log|x-1|(4-|x+2|)< =1, где |x-1| - основание логарифма

Answer 1

Для решения данного неравенства, мы сначала избавимся от модулей, а затем решим получившееся логарифмическое неравенство.

Шаг 1: Избавление от модулей

У нас есть модуль |x-1|, он равен нулю только если x-1 = 0. Таким образом, у нас есть два случая:

1) x-1 ≥ 0, тогда |x-1| = x-1.
2) x-1 < 0, тогда |x-1| = -(x-1) = -x+1.

Далее, у нас также есть модуль |x+2|, который равен нулю только если x+2 = 0. Таким образом, у нас есть два случая:

1) x+2 ≥ 0, тогда |x+2| = x+2.
2) x+2 < 0, тогда |x+2| = -(x+2) = -x-2.

Шаг 2: Заменяем модули полученными выражениями:

log|x-1|(4-|x+2|) < = 1 становится

log(x-1)(4-(x+2)) < = 1 для случая x-1 ≥ 0 и x+2 ≥ 0,

или

log(x-1)(4-(-x-2)) < = 1 для случая x-1 ≥ 0 и x+2 < 0,

или

log(-(x-1))(4-(x+2)) < = 1 для случая x-1 < 0 и x+2 ≥ 0,

или

log(-(x-1))(4-(-x-2)) < = 1 для случая x-1 < 0 и x+2 < 0.

Шаг 3: Упрощаем и решаем логарифмическое неравенство

Для первого случая, когда x-1 ≥ 0 и x+2 ≥ 0:

log(x-1)(4-x-2) < = 1 становится

log(x-1)(2-x) < = 1.

Используем свойство логарифма: loga(b) < = c эквивалентно a^c ≥ b.

Таким образом, (x-1)(2-x) ≥ 10^1 = 10.

Раскрываем скобки и получаем квадратное уравнение:

-x^2 + 3x + 2 ≥ 10.

-x^2 + 3x - 8 ≥ 0.

Факторизуем это квадратное уравнение:

-(x-4)(x+2) ≥ 0.

Графически представим это на числовой оси:

-2--------------4--------
-- + -- - +

Решением неравенства -(x-4)(x+2) ≥ 0 является интервал (-∞,-2] ∪ [4,+∞).

Шаг 4: Проверяем другие случаи

Для второго случая, когда x-1 ≥ 0 и x+2 < 0:

log(x-1)(4+x+2) < = 1 становится

log(x-1)(6) < = 1.

Аналогично, loga(b) < = c эквивалентно a^c ≥ b, следовательно,

(x-1)(6) ≥ 10^1 = 10.

6x-6 ≥ 10.

6x ≥ 10+6.

6x ≥ 16.

x ≥ 16/6.

x ≥ 8/3.

Разбираем второй случай, получаем:

x ≥ 8/3.

Шаг 5: Приходим к общему решению

Объединяем решения для двух случаев:

(-∞,-2] ∪ [4,+∞), x ≥ 8/3.

Таким образом, общее решение для данного неравенства будет (-∞,-2] ∪ [4,+∞), x ≥ 8/3.