Question

1) sin^2x + sinx + a = 0 (параметр)
2) cos2x - sinx =a (параметр)
при всех значениях "а" развязать уравнение.

Answer 1

$1) \ \sin^{2}x + \sin x + a = 0$

Замена: $\sin x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$t^{2} + t + a = 0\\D = 1 - 4a$

Данное уравнение будет иметь корни, если $D \geq 0$, то есть $1 - 4a \geq 0; \ a \leq \dfrac{1}{4}$

$t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a} }{2}$

Имея два действительных корня, определим, при каких $a$ выполняется неравенство $-1 \leq t \leq 1$

$1.1) \ -1 \leq \dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \leq 1\\-2 \leq -1 + \sqrt{1 - 4a} \leq 2\\-1 \leq \sqrt{1 - 4a} \leq 3\\ 1 - 4a \leq 9\\ - 4a \leq 8\\ a \geq -2$

Учитывая $a \leq \dfrac{1}{4}$, имеем: $a \in \bigg[-2; \dfrac{1}{4} \bigg]$

$1.2) \ -1 \leq \dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2} \leq 1\\-2 \leq -1 - \sqrt{1 - 4a} \leq 2\\-1 \leq -\sqrt{1 - 4a} \leq 3\\ -3 \leq \sqrt{1 - 4a} \leq 1 \\ 1 - 4a \leq 1\\ - 4a \leq 0\\ a \geq 0$

Учитывая $a \leq \dfrac{1}{4}$, имеем: $a \in \bigg[0; \dfrac{1}{4} \bigg]$

Обратная замена:

$\sin x = \dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2}\\x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi n, \ n \in Z$

$\sin x = \dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2}\\x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi k, \ k \in Z$

ответ: если $a \in (-\infty; -2) \cup \bigg(\dfrac{1}{4}; +\infty \bigg)$, то уравнение не имеет корней; если $a \in [-2; 0)$, то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi n, \ n \in Z$; если $a \in \bigg[0; \dfrac{1}{4} \bigg]$, то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 + \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \pi n, x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 - \sqrt{1 - 4a} }{2} \bigg) + \\+ \pi k, \ n \in Z, \ k \in Z$

$2) \ \cos2x - \sin x = a\\1 - 2\sin^{2}x - \sin x = a\\2\sin^{2}x + \sin x + a - 1 = 0$

Решаем аналогично:

Замена: $\sin x = t, \ -1 \leq t \leq 1$

$2t^{2} + t + a - 1 = 0\\D = 1 - 8(a - 1) = 1 - 8a + 8 = 9 - 8a \geq 0; \ a \leq \dfrac{9}{8}$

$t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm\sqrt{9 - 8a} }{4}$

$2.1) \ -1 \leq \dfrac{-1 + \sqrt{9 - 8a} }{4} \leq 1\\-4 \leq -1 +\sqrt{9 - 8a} \leq 4\\-3 \leq \sqrt{9 - 8a} \leq 5\\ 9 - 8a \leq 25\\ -8a \leq 16\\a \geq -2$

Учитывая $a \leq \dfrac{9}{8}$, имеем: $a \in \bigg[-2; \dfrac{9}{8} \bigg]$

$2.2) \ -1 \leq \dfrac{-1 - \sqrt{9 - 8a} }{4} \leq 1\\-4 \leq -1 -\sqrt{9 - 8a} \leq 4\\-3 \leq -\sqrt{9 - 8a} \leq 5 \\ -5 \leq \sqrt{9 - 8a} \leq 3 \\ 9 - 8a \leq 9\\ -8a \leq 0\\a \geq 0$

Учитывая $a \leq \dfrac{9}{8}$, имеем: $a \in \bigg[0; \dfrac{9}{8} \bigg]$

Обратная замена:

$\sin x = \dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4}\\x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi n, \ n \in Z$

$\sin x = \dfrac{-1 -\sqrt{9 - 8a} }{4}\\x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 -\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi k, \ k \in Z$

ответ: если $a \in (-\infty; -2) \cup \bigg(\dfrac{9}{8}; +\infty \bigg)$, то уравнение не имеет корней; если $a \in [-2; 0)$, то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg(\dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi n, \ n \in Z$; если $a \in \bigg[0; \dfrac{9}{8} \bigg]$, то $x = (-1)^{n} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 +\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \pi n, \ x = (-1)^{k} \cdot \arcsin \bigg( \dfrac{-1 -\sqrt{9 - 8a} }{4} \bigg) + \\+ \pi k, \ n \in Z, \ k \in Z$