Учебно-методическое пособие
для подготовки к ЕГЭ по математике
© С. С. Самарова, 2010
© ООО «Резольвента», 2010
Пример 1. Решить уравнение
log 2 ( x + 1) + log 2 x = 1.
Решение.
log 2 ( x + 1) + log 2 x = 1 ⇒ log 2 x ( x + 1) = 1 ⇒ x ( x + 1) = 2 ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇒
−1 ± 1 + 8 −1 ± 3
⇒ x1,2 = = ⇒ x1 = −2, x2 = 1.
2 2
Поскольку под знаком логарифма не может быть отрицательного числа, то слу-
чай x1 = −2 должен быть отброшен.
Простая проверка показывает, что значение x2 = 1 удовлетворяет исходному
уравнению.
ответ: 1.
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1
ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10
Пример 2. Решить уравнение
log x−1 9 = 2
Решение.
log x −1 9 = 2 ⇒ ( x − 1) = 9 ⇒ ( x − 1)1 = −3, ( x − 1)2 = 3.
2
Поскольку основание логарифмов не может быть отрицательным числом, то
первый случай должен быть отброшен. Далее получаем:
x −1 = 3 ⇔ x = 3 .
Простая проверка показывает, что число x = 3 является корнем исходного урав-
нения.
ответ: 3.
Пример 3. Решить уравнение
log 1 ( x − 3) + log 3 3 x + 1 = 0
3
Решение.
log 1 ( x − 3) + log 3 3 x + 1 = 0 ⇔ − log 3 ( x − 3) + log 3 3 x + 1 = 0 ⇔
3
⇔ log 3 3 x + 1 = log 3 ( x − 3) ⇒ 3 x + 1 = x − 3 ⇒ 3 x + 1 = ( x − 3) ⇒
2
⇒ 3 x + 1 = x 2 − 6 x + 9 ⇒ x 2 − 9 x + 8 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 8.
Число x1 = 1 не входит в область определения уравнения, поскольку в этом слу-
чае число x − 3 , стоящее под знаком логарифма, будет отрицательным.
Простая проверка показывает, что число x = 8 является корнем исходного
уравнения.
ответ: 8.
Пример 4. Решить уравнение
log x 10 + log x4 100 = 6
Решение.
2 1
log x 10 + log x4 100 = 6 ⇔ log x 10 + log x 10 = 6 ⇔ log x 10 + log x 10 = 6 ⇔
4 2
3
⇔ log x 10 = 6 ⇔ log x 10 = 4 ⇒ x 4 = 10 ⇒ x1 = − 4 10, x2 = 4 10.
2
Дано:
угол А = 31°
ромб ABCD
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом =>
=> угол ВОС = 90°
Треугольники DAB и ВСD равнобедренные.
180 - 31 = 149° - сумма углов АВО и АDO
149/2=74.5° - угол АDO (АВО)
Угол А = угол С ( ромб - параллелограмм, у параллелограмма противоположные углы равны.) = 31°
Треугольники ВАD и ВСD равны по двум сторонам (ВА=ВС, АD=CD)
и углу между ними (угол А = углу С) =>
=> угол АВО = углу СВО = 74.5°
Диагонали ромба являются биссектрисами =>
=> 31/2= 15.5 - угол ВСО
Отв: 15.5°, 74.5°, 90°