Пошаговое объяснение:
Задано похiдну функцii f(х)=x(x+2)(4-x) Укажiть точки максимуму функцii f(x)
Для удобства нахождения производной раскроем скобки и получим многочлен.
f(х)=x(x+2)(4-x) =(x²+2х)(4-x) =
=х²*4-х²*х+2х*4-2х*х=
=4х²-х³+8х-2х² = 2х²-х³+8х
Формула производной степени х
(a*xⁿ)=a*nxⁿ⁻¹
f'(х)=2*2x-3x²+8 = -3x²+4x+8=0
Находим точки экстремума,для чего приравниваем 0 первую производную.
Решаем уравнение : -3x²+4x+8=0
х₁,₂= (-4±√(16-4*(-3)*8) /(2*(-3)=(-4±√112)/-6 = (4±√112)/6 =4/6±√112/6
√112=√(16*7)=4√7 вынесем 4 (корень из 16) и сократим на 2
х₁=2/3 -4√7/6=2/3-2√7/3
х₂=2/3 +4√7/6=2/3+2√7/3
Для нахождения точек экстремума можем воспользоваться знаком второй производной в критических точках.
Удобно и легко пользоваться,когда первая производная простой полином.
Правило: Критическая точка является точкой минимума, если вторая производная функции в этой точке положительна, и точкой максимума,если вторая производная в этой точке отрицательна.
f'(х)= -3x²+4x+8=0
f"(х)=( -3x²+4x+8)'=-6x+4
-6(2/3-2√7/3)+4=-4+12√7/3+4 >0 минимум
x=2/3-2√7/3 -точка минимума (вторая производнаю больше 0)
-6(2/3+2√7/3)+4=-4-12√7/3+4 < 0 максимум
x=2/3+2√7/3 -точка максимума (вторая производная меньше 0)
Второй методом интервалов для знаков производной
Проверяем знак производной на каждом интервале.
f'(-2)= -3*4-8+8 < 0 f'(0)= 0-0+8 >0 f'(3)= -3*9+4*3+8 < 0
_ + _ f'(х) (Знак)
-2₀0₀3
2/3-2√7/3 2/3+2√7/3 f(х)
\ / \ поведение
убывает возрастает убывает
Точка минимума Точка максимума
х=2/3-2√7/3 х = 2/3+2√7/3
Как видите оба дали одинаковый результат.
Б)6/7
Г)39/100
З)21/100
В)18/19
Е)1/5