Question

Найти радиус и область сходимости степенного ряда
455

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-x)^{n+1}}{n^3}=\sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{(-x)^k}{(k-1)^3}=\sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{(-1)^k}{(k-1)^3}x^k\\ \dfrac{1}{R}=\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left|\dfrac{(-1)^k}{(k-1)^3}\right|}=1=R=1=x\in (-1;1)\\$

$x=-1:\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^3}$ сходится как обобщенный гармонический c  k=3

$x=1: \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^3}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\\$

$\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^3}\\$ сходится (по доказанному выше). Тогда  $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$  сходится абсолютно.

ответ:  $R=1;\; x\in[-1;1]$