Question

У=1/1-х^2 исследоват функции

Answer 1

$y = \dfrac{1}{1 - x^{2}}$

$1) \ D(y): \ 1 - x^{2} \neq 0; \ x^{2} \neq 1; \ x \neq \pm 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \ 1) \cup (1; +\infty)$

$2) \ y(-x) = \dfrac{1}{1 - (-x)^{2}} = \dfrac{1}{1 - x^{2}}$ — функция является четной и непериодической.

$3)$ Если $x = 0$, то $y = 1$, значит $(0; \ 1)$ — точка пересечения с осью ординат. Если $y = 0$, то есть $\dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$, то $x = \varnothing$, значит нет точек пересечения с осью абсцисс.

$4)$ Поскольку $x = 1$ и $x = -1$ — точки разрыва функции и $\underset{x\rightarrow -1}{\lim} \dfrac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ и $\underset{x\rightarrow 1}{\lim} \dfrac{1}{1 - x^{2}} = \infty$, то  

Если $x\rightarrow -1, \ x < -1$, то $y \rightarrow +\infty$; если $x\rightarrow -1, \ x -1$, то $y\rightarrow -\infty$

Если $x\rightarrow 1, \ x < 1$, то $y \rightarrow +\infty$; если $x\rightarrow 1, \ x 1$, то $y\rightarrow -\infty$

Найдем наклонные асимптоты $(y = kx + b)$:

$k = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{y}{x} = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{x(1 - x^{2})} = 0$

Если $k = 0$, то имеем горизонтальную асимптоту. Найдем $b:$

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(y - kx) = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$

Следовательно, $y = 0$ — горизонтальная асимптота.

$5) \ y' = \left(\dfrac{1}{1 - x^{2}} \right)' = \dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}}$

Из уравнения $\dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} = 0$ имеем критическую точку функции: $x = 0$

Заполним таблицу №1 (см. вложение).

$6) \ y'' = \left(\dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} \right)' = \dfrac{2(1 - x^{2})^{2} + 8x^{2}(1 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} = \dfrac{2(1 - x^{2})(1 - x^{2} + 4x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} =\\= \dfrac{2(1 + 3x^{2})}{(1 - x^{2})^{3}} = \dfrac{2 + 6x^{2}}{(1 - x^{2})^{3}}$

Если $y'' = 0$, то $x = \varnothing$

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице №2 (см. вложение).

Для достоверности изобразим полученный график (см. вложение).

$7)$ Из рисунка видим, что $E(y): \ y \in (-\infty; \ 0) \cup [1; +\infty)$