Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: y=1/x,x+2y=4

Answer 1

$OTBET:2\sqrt{2}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )$

Пошаговое объяснение:

Изображение фигуры, которую нужно найти, во вложении.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций:

$\frac{1}{x}=-\frac{x}{2}+2\\ \\ \frac{2}{2x}=-\frac{x^2}{2x}+\frac{4x}{2x} \\ \\ \frac{2+x^2-4x}{2x}=0 \\ \\ x\neq 0\\ \\ x^2-4x+2=0\\ \\ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot2=8\\ \\ \sqrt{D}=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}\\ \\ x_1=\frac{4-2\sqrt{2} }{2}=2-\sqrt{2} \\ \\ x_2=\frac{4+2\sqrt{2} }{2}=2+\sqrt{2}$

Это будут границы интегрирования.

Так как линейная функция выше, чем ветвь гипербола (в рассматриваемом промежутке), то для нахождения площади будем последнюю вычитать, то есть:

$S_{uck.}=\int\limits^{2+\sqrt{2} }_{2-\sqrt{2}} {(-\frac{x}{2} +2-\frac{1}{x}) } \, dx =(-\frac{x^2}{4}+2x-ln|x|) \Bigg|^{2+\sqrt{2} }_{2-\sqrt{2}} =\\ \\ \\ =(-\frac{(2+\sqrt{2})^2}{4}+2(2+\sqrt{2})-ln|2+\sqrt{2}|)-(-\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}+2(2-\sqrt{2})-ln|2-\sqrt{2}|)=\\ \\ \\ =-\frac{(2+\sqrt{2})^2}{4}+4+2\sqrt{2}-ln(2+\sqrt{2})+\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4}-4+2\sqrt{2}+ln(2-\sqrt{2})=\\ \\ \\ =4\sqrt{2}+\frac{(2-\sqrt{2})^2-(2+\sqrt{2})^2}{4}+ln(2-\sqrt{2})-ln(2+\sqrt{2})=$

$=4\sqrt{2}+\frac{(2-\sqrt{2}-2-\sqrt{2} )(2-\sqrt{2}+2+\sqrt{2} )}{4}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )=4\sqrt{2}+\frac{-2\sqrt{2}\cdot4}{4}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )=\\ \\ \\ =4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )=2\sqrt{2}+ln(\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} )$