Question

Решите кто понимает очень хочу понять.

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{x^2-2x+3}{x\sqrt{x}}\, dx=\int \frac{x^2-2x+3}{x^{3/2}}\, dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{3}{2}})\, dx=\\\\=\frac{2x^{3/2}}{3}-2\cdot \frac{2x^{1/2}}{1}+3\cdot \frac{2x^{-1/2}}{-1}+C=\frac{2\sqrt{x^3}}{3}-4\sqrt{x}-\frac{6}{\sqrt{x}}+C$

$2)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt[3]{9x-7}}=\Big [\; t=9x-7\; ,\; dt=9\, dx\; \Big]=\frac{1}{9}\int \frac{dt}{t^{1/3}}=\frac{1}{9}\cdot \frac{t^{2/3}}{2/3}+C=\\\\=\frac{\sqrt[3]{(9x-7)^2} }{6}+C$

$3)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}=\Big [\; x=t^4\; ,\; dx=4t^3\, dt\; ,\; t=\sqrt[4]{x}\; \Big]=\int \frac{4t^3\, dt}{t^2+t}=\\\\=4\int \frac{t^3\, dt}{t(t+1)}=4\int \frac{t^2}{t+1}\, dt=4\int (t-1+\frac{1}{t+1})\, dt=4(\frac{t^2}{2}-t+ln|t+1|)+C=\\\\=2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4ln|\sqrt[4]{x}+1|+C$

$4)\; \; \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+16}}=\Big [\; x=4tgt\; ,\; dx=\frac{4\, dt}{cos^2t}\; ,\; x^2+16=16tg^2t+16=\\\\=16(tg^2t+1)=16\cdot \frac{1}{cos^2t}\; \Big ]=\int \frac{4\, dt}{cos^2t\cdot 16tg^2t\cdot \frac{4}{cost}}=\frac{1}{16} \int \frac{cost\, dt}{sin^2t}=\\\\=\Big [\; z=sint\; ,\; dz=cost\, dt\; \Big ]=\frac{1}{16}\int \frac{dz}{z^2}=\frac{1}{16}\int z^{-2}dz=\frac{1}{16}\cdot \frac{z^{-1}}{-1}+C=\\\\=-\frac{1}{16\cdot sin(arctg\frac{x}{4})}+C=-\frac{1}{16}\cdot \frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+C$

$P.S.\; \; \sqrt{x^2+16}=\sqrt{16tg^2t+16}=\sqrt{16(tg^2t+1)}=\sqrt{16\cdot \frac{1}{cos^2t}}=\\=4\cdot \frac{1}{cost}=\frac{4}{cost}$

Answer 2

Слегонца подтянул под дифференциал, кое..что расписал по формулам, т.е. добавил теории, кое..что решил по - другому, используя дифференциальный бином, Вы его, явно, учили, возможно, что возьмете на вооружение. Удачи.