Question

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет 2 решения, с полным решением!

Answer 1

-5 < a < -1/2 или 3 < a < 7/2

Пошаговое объяснение:

Сделаем замену x + 4/x = y. Получается квадратное уравнение:

$y^2+(a-4)y-(2a^2-a-3)=0$

Домножим на 4 и выделим полный квадрат. Получится разность квадратов, которую преобразуем в произведение:

$4y^2+4(a-4)y-(8a^2-4a-12)=0\\4y^2+4(a-4)y+(a^2-8a+16)=(8a^2-4a-12)+(a^2-8a+16)\\(2y+a-4)^2=9a^2-12a+4\\(2y+a-4)^2=(3a-2)^2\\(2y+a-4)^2-(3a-2)^2=0\\(2y+a-4+3a-2)(2y+a-4-3a+2)=0\\4(y+2a-3)(y-a-1)=0$

Если вам не нравится такой можете использовать дискриминант или угадать корни, пользуясь теоремой Виета. Так или иначе, корни этого уравнения $y=3-2a$ и $y=a+1$.

Когда мы вернемся обратно к иксам, нужно будет определять количество корней уравнения вида x + 4/x = t. Нарисуем график функции f(x) = x + 4/x. Это нечетная функция, сфокусируемся на x > 0.

$x+\dfrac 4x=\left(x-4+\dfrac 4x\right)+4=\left(\sqrt x-\dfrac 2{\sqrt x}\right)^2+4$

Минимальное значение f(x) равно 4, достигается при x = 2. При x > 2 функция неограниченно возрастает (поскольку выражение в скобках положительно и оба слагаемых возрастают), а так как уравнение переходит само в себя при замене $x\mapsto 4/x$, то при 0 < x < 2 функция убывает от бесконечности.

При x < 0 всё получается симметрично относительно начала координат. График показан на картинке.

Итак, x + 4/x = t не имеет решений, если -4 < t < 4, одно решение, если t = -4 или t = 4, и два решения во всех остальных случаях.

Осталось понять, когда у исходного уравнения будет два решения.

$3 - 2a = a + 1$ и $|a+1|4$

Первое равенство выполнено при a = 2/3, тогда у уравнения нет решений. Не подходит

$-4$ и $|a+1|4$

Первое неравенство дает -1/2 < a < 7/2, второе a > 3 или a < -5. Пересечение: 3 < a < 7/2.

$|3-2a|4$ и $-4$

Первое неравенство: a > 7/2 или a < -1/2, второе: -5 < a < 3. Пересечение: -5 < a < -1/2.

3 - 2a = 4, a + 1 = -4

Нет решений

3 - 2a = -4, a + 1 = 4

Нет решений