Question

Квадратный трехчлен у=x²+(а-3)х+0,75а+0,25 имеет действительные корни, если а принадлежит множеству:
1)[-1;8]
2(1;8)
3)(-беск;1][8;беск)
4)(-беск;8][-1;беск)
5)(-беск;8)

Answer 1

Квадратный тричлен будет иметь действительные корни тогда, когда его дискриминант неотрицательный.

$y = x^2+(a-3)x+0,75a+0,25\\D = (a-3)^2 - 4\cdot(0,75a+0,25)\cdot1 = a^2 - 6a + 9 - 3a - 1 = a^2 - 9a + 8$

Полученное выражение должно быть неотрицательным.

$a^2-9a+8 \geq 0 \\D = (-9)^2-4\cdot8\cdot1 = 81 - 32 = 49 = 7^2\\a = \frac{9\pm7}{2}$

Тогда можем переписать тричлен в виде произведения двух линейных двочленов

$a_{1} = 8, a_{2} = 1\\a^2-9a+8 = (a-8)\cdot(a-1) \geq 0$

Дальше используя метод интервалов, получаем, что $a \in [-\infty;1] \cup [8;+\infty)$, то есть вариант ответа 3)